Università di Firenze
Scuola di Scienze MFN - Corso di laurea in Matematica

http://web.math.unifi.it/users/marcellini/ 

Analisi Matematica Uno - A.A. 2016-2017

 

  Orario delle lezioni e delle esercitazioni del corso di Analisi Matematica Uno

 

  Ora

 lunedì

 martedì

 mercoledì

 giovedì

 venerdì

 8.30 – 9.30

 

 

 

 

 

 9.30 – 10.30

 

 

 

 

 

10.30 – 11.30

Lezione Analisi Matematica Uno

Lezione Analisi Matematica Uno

 

Esercitazione Analisi Matematica Uno

 

11.30 – 12.30

Lezione Analisi Matematica Uno

Lezione Analisi Matematica Uno

 

Esercitazione Analisi Matematica Uno

 

12.30 – 13.30

 

 

 

 

 

 

Le lezioni e le esercitazioni si terranno, con l’orario sopra indicato (valido fino al 23 dicembre 2016 - l'orario completo per il primo semestre si trova seguendo questo link), nell’aula 1 del Dipartimento di Matematica e Informatica “U. Dini”, in Viale Morgagni 67/A, a Firenze. 

Inizio delle lezioni del CdL in Matematica: lunedì 26 settembre 2016.

Testi consigliati di teoria per il Corso di Analisi Uno:
P. Marcellini - C. Sbordone,  Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
E. Giusti, Analisi matematica 1, Boringhieri.

Testi di esercizi:
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore, Primo Volume (parte prima e parte seconda).

Il corso di Analisi Matematica Uno è articolato in lezioni (tenute dal Prof. Paolo Marcellini) ed esercitazioni (tenute dal Prof. Luigi De Pascale e dal Prof. Matteo Focardi; il CdL in Matematica e il Dipartimento di Matematica e Informatica stanno completando le procedure di attivazione). Il Dott. Giorgio Poggesi svolgerà attività di Tutor, cioè attività di supporto agli studenti del corso. Il ciclo di lezioni ed esercitazioni si terrà dal settembre 2016 al maggio 2017.

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale; tali prove si terranno in più sessioni al termine del ciclo di lezioni ed esercitazioni, con inizio nel maggio 2017 (le date precise delle sessioni di esame verranno comunicate con congruo anticipo, secondo i criteri del Corso di Laurea in Matematica). L'esame scritto consente l'ammissione alla prova orale se la votazione riportata è maggiore o uguale a 14/30. Lo studente può sostenere la prova orale nello stesso appello in cui ha superato lo scritto e, qualora non utilizzi tale possibilità, anche nell’appello immediatamente successivo.

Durante il corso sono previste tre prove scritte preliminari di verifica dell'apprendimento. Se la votazione riportata in almeno due prove su tre è sufficiente (voto 18/30 o superiore) lo studente è esonerato dal sostenere l'esame scritto, che altrimenti è obbligatorio. In tal caso lo studente è ammesso direttamente alla prova orale, con voto (dello scritto, base per determinare il voto finale dopo la prova orale) calcolato come media dei due voti migliori fra le tre prove preliminari. Periodo previsto per la prima prova scritta preliminare: dicembre 2016 o gennaio 2017, eventualmente al ritorno dalla pausa di Natale/Capodanno; la seconda prova scritta preliminare si terrà presumibilmente a marzo/aprile 2017; infine la terza prova scritta preliminare si terrà nel mese di maggio 2017. (Primi) esami alla fine del corso di lezioni ed esercitazioni: tre appelli, uno nel mese di maggio 2017, il secondo nel mese di giugno ed il terzo nel mese di luglio. Il quarto appello si terrà nel mese di settembre 2017. Gli studenti che avranno ottenuto l’esonero dal sostenere la prova scritta potranno presentarsi direttamente alla prova orale di uno degli appelli di maggio, giugno, luglio 2017. E' prevista l'iscrizione on line, con le modalità fissate dall'Ateneo (in genere l'iscrizione si apre on line nel sito web dell'Ateneo un paio di settimane prima della data di apertura dell'appello), per tutti gli esami del Corso di Laurea in Matematica.

Il Programma del Corso sarà di massima il seguente (il programma definitivo verrà distribuito alla fine del corso di lezioni ed esercitazioni):

I NUMERI E LE FUNZIONI REALI. Il sistema dei numeri reali. Numeri naturali, interi, razionali. Esistenza di numeri irrazionali (in particolare: la radice quadrata di 2 non è un numero razionale). Funzioni reali di variabile reale. Funzioni invertibili. Funzioni monotòne. Proprietà e grafici delle funzioni elementari. Valore assoluto. Disuguaglianza triangolare. L'assioma di completezza. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Esistenza dell'estremo superiore. Il principio di induzione. La disuguaglianza di Bernoulli. Calcolo combinatorio. Formula del binomio di Newton. Numeri complessi: forma algebrica e trigonometrica, rappresentazione geometrica, operazioni, potenze e radici. (Paragrafi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 17)

LIMITI DI SUCCESSIONI. Definizione di limite (finito o infinito) di una successione. Prime proprietà: unicità del limite, limitatezza delle successioni convergenti. Teorema della permanenza del segno, dei carabinieri e altri teoremi di confronto. Operazioni con i limiti: somma, prodotto, quoziente. Forme indeterminate. Limite del prodotto di una successione infinitesima per una limitata. Limiti notevoli. Successioni monotòne. Teorema sulle successioni monotòne. Monotonia e limitatezza della successione (1+1/n)^n. Il numero e. Successioni definite per ricorrenza. Infiniti di ordine crescente. Criterio del rapporto per le successioni. Successioni estratte. Il teorema di Bolzano-Weierstrass. (Paragrafi 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34)

LIMITI DI FUNZIONI. Definizione di limite (finito o infinito) di una funzione reale di variabile reale, in un punto al finito o all'infinito. Limiti destro e sinistro. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Proprietà dei limiti di funzioni. (Paragrafi 40, 41, 42, 43)

FUNZIONI CONTINUE. Definizione. Esempi e prime proprietà. Punti di discontinuità. Teorema della permanenza del segno. Teorema dell'esistenza degli zeri. Teorema dell'esistenza dei valori intermedi. Metodo di bisezione. Teorema di Weierstrass. Continuità delle funzioni monotòne e delle funzioni inverse. (Paragrafi 44, 45, 46, 47, 48, 49)

DERIVATE. Rapporto incrementale. Definizione di derivata. Significato meccanico della derivata. Continuità delle funzioni derivabili. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Le funzioni trigonometriche inverse. Le funzioni iperboliche e le loro inverse. (Paragrafi 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59)

APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDIO DI FUNZIONI. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, di Lagrange, di Cauchy. Funzioni crescenti e decrescenti; criterio di monotonia. Funzioni convesse e concave; criterio di convessità. Flessi. Il teorema di L'Hopital nel caso generale (0/0 e  infinito su infinito). Studio del grafico di una funzione. Funzioni convesse in un intervallo. (Paragrafi 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 69)

INTEGRALI DEFINITI SECONDO RIEMANN. Il metodo di esaustione. Partizioni. Somme integrali. Integrabilità secondo Riemann. Definizione e proprietà degli integrali definiti. Criterio di integrabilità. Continuità uniforme. Teorema di Cantor. Funzioni Lipschtziane. Caratterizzazione delle funzioni derivabili e Lipschtziane in un intervallo. Integrabilità delle funzioni continue. Il teorema della media. (Paragrafi 78, 79, 80, 81, 82, 83, 85)

INTEGRALI INDEFINITI E APPLICAZIONI. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive. Caratterizzazione dell'insieme delle primitive di una funzione continua in un intervallo. Formula fondamentale del calcolo integrale. Definizione e proprietà degli integrali indefiniti. Metodi di integrazione indefinita per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Divisione tra polinomi. Integrazione delle funzioni razionali. Formula di integrazione per sostituzione per gli integrali definiti. Calcolo di aree di figure piane. Integrali impropri. Definizione delle funzioni logaritmo, esponenziale, potenza, mediante l’uso degli integrali. (Paragrafi 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 97)

FORMULA DI TAYLOR. La formula di Taylor con il resto di Peano, con il resto integrale e con il resto di Lagrange. La formula di Taylor delle funzioni elementari. Il simbolo "o piccolo". Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti. Tabulazione di funzioni. Rappresentazione numerica approssimata del numero e. Il binomio di Newton come conseguenza della formula di Taylor. (Paragrafi 66, 98, 99, 100, 101, 102, 103)

SERIE NUMERICHE. Serie numeriche convergenti, divergenti, indeterminate. Carattere delle serie a termini non negativi. La serie geometrica. La serie armonica e la serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto, degli infinitesimi, del rapporto, della radice. Criterio di convergenza per le serie alternate. Convergenza assoluta. Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità per le serie di Taylor. Il paradosso di Zenone. (Paragrafi 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 112, 114)

Si fa riferimento ai numeri dei paragrafi del libro:
P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.

 

Firenze, 20 settembre 2016