Università di Firenze
Corso di laurea in Matematica

Terzo e Quarto modulo di Analisi (Analisi Matematica Due)

A.A. 2003-2004
Orario delle lezioni e delle esercitazioni del corso di Analisi III (e IV) modulo

Ora	lunedì	martedì	mercoledì	giovedì	venerdì
8.30 – 9.30
9.30 – 10.30
10.30 – 11.30		Lezione Analisi III modulo	Esercitazione Analisi III modulo		Lezione Analisi III modulo
11.30 – 12.30		Lezione Analisi III modulo	Esercitazione Analisi III modulo
12.30 – 13.30

Le lezioni e le esercitazioni si terranno nell’aula 3 del Dipartimento di Matematica, in Viale Morgagni 67. Inizio delle lezioni: 30 settembre 2003.

Testi consigliati di teoria:
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Due, Liguori Editore.
E. Giusti, Analisi matematica 2, Boringhieri.

Testi di esercizi:
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore, Secondo Volume (parte prima e parte seconda).

Il Terzo e il Quarto modulo di Analisi sono articolati in lezioni (tenute dal Prof. Paolo Marcellini) ed esercitazioni (tenute dal Dott. Emanuele Paolini). Il ciclo di lezioni del terzo modulo terminerà il 19 dicembre 2003, mentre nella prima metà del mese di gennaio 2004 si terrà l'ultima settimana di lezioni ed esercitazioni, di riepilogo. Le lezioni del quarto modulo inizieranno nella settimana del 16 febbraio 2004 e termineranno il 14 maggio 2004.

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale al termine di ogni modulo; tali prove si terranno in più sessioni ripetute durante il corso dell'anno, al termine del ciclo di lezioni ed esercitazioni, con inizio a metà del mese di gennaio 2004, relativamente al terzo modulo. L'esame scritto alla fine di ogni modulo consente l'ammissione alla prova orale se la votazione riportata è maggiore o uguale a 14/30.

Durante il corso sono previste alcune prove scritte preliminari di verifica dell'apprendimento, due per il terzo modulo e due per il quarto. Se la votazione riportata nelle due prove è sufficiente (almeno 18/30) lo studente è esonerato dal sostenere l'esame scritto alla fine del corrispondente modulo, che altrimenti è obbligatorio.

E’ consentito sostenere una unica prova scritta ed una unica prova orale al termine del corso, valida per entrambi i moduli, in alternativa a due esami distinti per i due moduli. Se la votazione riportata su tre prove fra le quattro prove scritte preliminari, complessivamente previste nei due moduli, è sufficiente (almeno 18/30), lo studente è esonerato dal sostenere l'esame scritto alla fine del corso che, unitamente ad una prova orale (anche questa al termine del corso), come già detto vale per entrambi i moduli in alternativa a due esami distinti per i due moduli.

Le norme sopra indicate sono state elaborate tenendo conto delle norme generali del Corso di Laurea in Matematica. Tali norme potranno essere modificate nel corso dell’anno, anche in considerazione dello sviluppo del programma effettivamente svolto e delle eventuali richieste degli studenti che frequenteranno il corso.

Data prevista per la prima prova scritta preliminare: venerdì 14 novembre 2003. Data prevista per la seconda prova scritta preliminare: venerdì 19 dicembre 2003. (Primi) esami alla fine del terzo modulo: due appelli, uno nella seconda metà del mese di gennaio 2004 ed un secondo nella prima metà del mese di febbraio. Si potrà organizzare un preappello orale intorno alla metà del mese di gennaio 2004, riservato agli studenti che avranno ottenuto l’esonero dal sostenere la prova scritta.

Il Programma del Corso sarà di massima il seguente (il programma definitivo verrà distribuito alla fine di ogni modulo di lezioni ed esercitazioni):

Terzo modulo:

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni. Il teorema di continuità del limite. I teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Convergenza puntuale, uniforme e totale di una serie di funzioni. I teoremi di continuità della somma di una serie, di integrazione e di derivazione per serie. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Integrazione e derivazione di una serie di potenze. Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità di una serie di Taylor. Sviluppi di alcune funzioni elementari. (Paragrafi 1, 2, 3, 4, 5, 6)

FUNZIONI REALI DI DUE O PIU’ VARIABILI REALI. Cenni sullo spazio vettoriale R2 ed elementi di topologia di R2. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Limiti e continuità. I teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali. Il teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Il teorema del differenziale. Il teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali. Interpretazione geometrica del vettore gradiente. Caratterizzazione delle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso di R2. Formula di Taylor al secondo ordine con il resto di Lagrange e con il resto di Peano. Massimi e minimi relativi per le funzioni di due variabili: condizioni necessarie e condizioni sufficienti. Proprietà di differenziabilità delle funzioni di tre o più variabili. Cenni sulle funzioni armoniche in Rn. Il principio di massimo per le funzioni armoniche. (Paragrafi 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI. Proprietà generali delle equazioni differenziali lineari di ordine n. Rappresentazione dell’integrale generale di una equazione differenziale lineare di ordine n. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine, omogenee e non omogenee. Soluzioni indipendenti dell’equazione omogenea. Integrale generale dell’equazione omogenea (e dell’equazione non omogenea). Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Il metodo della variazione delle costanti. (Paragrafi 21, 22, 23, 24, 25)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI NON LINEARI. Il teorema di Cauchy di esistenza ed unicità locale per le equazioni differenziali non lineari. Il teorema di esistenza ed unicità globale. Metodi di risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo e del secondo ordine, sia in forma normale che non in forma normale. Analisi qualitativa delle soluzioni. (Paragrafi 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32)

Quarto modulo:

FUNZIONI IMPLICITE. Il teorema del Dini per funzioni implicite di una variabile. Il teorema del Dini per funzioni implicite di due o più variabili. Il teorema del Dini per i sistemi. Invertibilità locale. Massimi e minimi vincolati in due o più dimensioni. Moltiplicatori di Lagrange. (Paragrafi 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59)

INTEGRALI CURVILINEI E FORME DIFFERENZILI NEL PIANO. Curve regolari. Lunghezza di una curva. Il teorema di rettificabilità delle curve di classe C1. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Forme differenziali. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Cenni sulle curve in Rn. (Paragrafi 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42)

INTEGRALI DOPPI E TRIPLI. Integrali doppi su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli. Calcolo di aree e di volumi. (Paragrafi 43, 44, 45, 46, 47)

SUPERFICI ED INTEGRALI DI SUPERFICIE. Superfici regolari. Piano tangente. Versore normale. Area di una superficie regolare. Integrali di superficie. Il teorema della divergenza. La formula di Stokes. (Paragrafi 48, 49, 50, 51)

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