Scuola di Scienze M.F.N. - http://www.scienze.unifi.it/

Università di Firenze
Corso di laurea in Matematica

http://web.math.unifi.it/users/marcellini/

Analisi Matematica Due - A.A. 2015-2016
Orario delle lezioni e delle esercitazioni del corso di Analisi Matematica Due

Ora	lunedì	martedì	mercoledì	giovedì	venerdì
8.30 – 9.30
9.30 – 10.30
10.30 – 11.30		Lezione Analisi Matematica Due	Lezione Analisi Matematica Due		Lezione Analisi Matematica Due
11.30 – 12.30		Esercitazione Analisi Matematica Due			Esercitazione Analisi Matematica Due
12.30 – 13.30

Le lezioni e le esercitazioni si terranno, con l’orario sopra indicato, nell’aula 2 del Dipartimento di Matematica e Informatica, in Viale Morgagni 67/A. Inizio delle lezioni: settimana del 21 settembre 2015.

Testi consigliati di teoria:
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore.
E. Giusti, Analisi matematica 2, Boringhieri.

Testi di esercizi:
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore, Secondo Volume (parte prima e parte seconda).

Il corso di Analisi Matematica Due è articolato in lezioni ed esercitazioni, tenute dal Prof. Paolo Marcellini. Il ciclo di lezioni ed esercitazioni si terrà dal mese di settembre 2015 al mese di aprile 2016.

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale; tali prove si terranno in più appelli e sessioni, al termine del ciclo di lezioni ed esercitazioni, con inizio nel mese di maggio 2016 (le date precise delle sessioni di esame verranno comunicate con congruo anticipo, secondo i criteri del Corso di Laurea in Matematica). E' prevista l'iscrizione on line, con le modalità fissate dall'Ateneo (in genere l'iscrizione si apre on line nel sito web dell'Ateneo un paio di settimane prima della data di apertura dell'appello) per tutti gli esami del Corso di Laurea in Matematica.

L'esame scritto consente l'ammissione alla prova orale se la votazione riportata è maggiore o uguale a 14/30. Lo studente può sostenere la prova orale nello stesso appello in cui ha superato lo scritto e, qualora non utilizzi tale possibilità, anche nell’appello immediatamente successivo.

Il Programma del Corso sarà di massima il seguente (il programma definitivo verrà distribuito alla fine del corso di lezioni ed esercitazioni):

FUNZIONI REALI DI DUE O PIU’ VARIABILI REALI. Richiami di topologia in R^n; in particolare: intorni circolari, insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti; disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; prodotto scalare e norma su R^n. Limiti e continuità. I teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali. Derivate successive. Il teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Il teorema del differenziale. Il teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali. Derivata direzionale di una funzione differenziabile. Interpretazione geometrica del vettore gradiente. Caratterizzazione delle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso di R^n. Formula di Taylor al secondo ordine con il resto di Lagrange e con il resto di Peano. Forme quadratiche. Matrici quadrate definite, semidefinite e indefinite. Massimi e minimi relativi per le funzioni di n variabili: condizioni necessarie e condizioni sufficienti; condizioni sufficienti nel caso delle 2 variabili. Funzioni a valori vettoriali. Funzioni convesse su R^n. Criteri di convessità. Complementi alle forme quadratiche. (Paragrafi 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 35, 36, 37, 38, 39, 40)

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni. Il teorema di continuità del limite. I teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Successioni di Cauchy. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale di una serie di funzioni. Criterio di convergenza di Cauchy per le serie (puntuale e uniforme). La convergenza totale di una serie di funzioni implica la sua convergenza uniforme. I teoremi di continuità della somma di una serie, di integrazione e di derivazione per serie. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Raggio di convergenza della serie derivata. Integrazione e derivazione di una serie di potenze. Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi di alcune funzioni elementari. (Paragrafi 1, 2, 3, 5, 6, 7)

SPAZI METRICI E SPAZI DI BANACH. Definizione di spazio metrico. La metrica euclidea su R^n e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Successioni e funzioni continue in uno spazio metrico. Spazi vettoriali. Prodotto scalare su R^n. Norma su di uno spazio vettoriale. Spazi di Banach. Esempi. Funzioni Lipschtziane. Caratterizzazione delle funzioni derivabili e Lipschtziane in un intervallo di R. Il teorema delle contrazioni. Insiemi compatti. Teoremi sulle funzioni continue su insiemi compatti (in particolare i teoremi di Weierstrass e di Cantor). Aperti connessi su R^n. (Paragrafi 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Il problema di Cauchy . Il teorema di Cauchy di esistenza ed unicità locale, o in piccolo, per le equazioni (e per i sistemi di equazioni) differenziali non lineari. Corollari al teorema di Cauchy. Il teorema di esistenza ed unicità globale, o in grande. Prolungabilità delle soluzioni. Metodi di risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo e del secondo ordine (e di ordine superiore), sia in forma normale che in forma non normale ; in particolare equazioni differenziali a variabili separabili, lineari, di Bernoulli, omogenee, di Clairaut, esatte, ecc. Analisi qualitativa delle soluzioni. Proprietà generali delle equazioni differenziali lineari di ordine n. Rappresentazione dell’integrale generale di una equazione differenziale lineare di ordine n: integrale generale dell’equazione omogenea e dell’equazione non omogenea. Il metodo della variazione delle costanti. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti; il caso particolare delle equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti; termini noti di tipo particolare. (Paragrafi 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56)

COMPATTEZZA SU SPAZI DI FUNZIONI. Il teorema di Ascoli-Arzelà. Applicazione al teorema di Peano di esistenza locale, o in piccolo, per le equazioni (e per i sistemi di equazioni) differenziali non lineari. Esempi di non unicità. (Paragrafi 10,50)

CURVE E INTEGRALI CURVILINEI. Curve regolari. Curve orientate. Lunghezza di una curva. Il teorema di rettificabilità delle curve di classe C^1. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Curvatura di una curva piana. (Paragrafi 60, 61, 62, 63, 64)

FORME DIFFERENZIALI LINEARI. Campi vettoriali. Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Forme differenziali esatte nel piano. Aperti semplicemente connessi in R^2. Forme differenziali nello spazio tridimensionale. Campi irrotazionali. Aperti semplicemente connessi e forme differenziali esatte in R^n. (Paragrafi 68, 69, 70, 71, 72, 73)

INTEGRALI DOPPI E TRIPLI. INTEGRALI MULTIPLI. Domini normali in R^2. Partizioni. Somme integrali. Integrali doppi su domini normali. Integrabilità delle funzioni continue su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule di integrazione per parti. Formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi. Coordinate polari. Integrali tripli. Calcolo di aree e di volumi. Insiemi di R^n misurabili secondo Peano-Jordan. Integrale di Riemann su R^n. Proprietà principali. (Paragrafi 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81)

SUPERFICI ED INTEGRALI DI SUPERFICIE. Superfici regolari. Coordinate locali. Piano tangente. Versore normale. Area di una superficie regolare. Superfici orientabili. Integrali di superficie. La formula di Stokes in R^3. Il teorema della divergenza. (Paragrafi 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100)

FUNZIONI IMPLICITE. Funzioni y = f(x) definite implicitamente da un’equazione del tipo F(x,y) = 0. Il teorema del Dini per equazioni e per funzioni implicite di una variabile. Il teorema del Dini per funzioni implicite di due o più variabili. Il teorema del Dini per i sistemi. Invertibilità locale e globale. (Paragrafi 101, 102, 103)

Firenze, 17 settembre 2015