Università di Firenze
Dipartimento
di Matematica e Informatica "U. Dini"
Facoltà/Scuola di Scienze MFN
Corso di laurea in Matematica
Prof. Paolo
Marcellini
FUNZIONI
REALI DI DUE O PIU’ VARIABILI REALI. Richiami di topologia in R^n; in particolare:
intorni circolari, insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti; disuguaglianza
di Cauchy-Schwarz; prodotto scalare e norma su R^n. Definizione di
limite di una funzione da R^n in R^m. Limiti e continuità.
I teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali. Gradiente. Derivate
successive. Il teorema di Schwarz sulle derivate seconde miste. Differenziabilità.
Il teorema del differenziale. Il teorema di derivazione delle funzioni
composte. Derivate direzionali. Derivata direzionale di una funzione
differenziabile. Interpretazione geometrica del vettore gradiente. Formula di
Taylor al secondo ordine con il resto di Lagrange e con il resto di Peano.
Forme quadratiche. Matrici quadrate definite, semidefinite e indefinite; il
caso particolare delle matrici 2 x 2. Matrice Hessiana delle derivate
seconde. Massimi e minimi relativi per le funzioni di n variabili:
condizioni necessarie (del primo e del secondo ordine) e condizioni
sufficienti; condizioni sufficienti nel caso delle 2 variabili. Studi
con determinante Hessiano nullo. (Paragrafi 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 35,
36, 37)
SUCCESSIONI
E SERIE DI FUNZIONI. Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di
funzioni. Il teorema di continuità del limite. Il teorema di passaggio al
limite sotto il segno di integrale. Successioni di Cauchy. Serie di funzioni:
convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale. Criterio di convergenza di
Cauchy per le serie (puntuale e uniforme). La convergenza totale di una serie
di funzioni implica la sua convergenza uniforme. I teoremi di continuità della
somma di una serie, di integrazione e di derivazione per serie. Serie di
potenze. Raggio di convergenza. Integrazione e derivazione di una serie di
potenze (con dimostrazione semplificata). Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor.
Sviluppi di alcune funzioni elementari. (Paragrafi 1, 2, 3, 5, 6, 7)
SPAZI
METRICI E SPAZI DI BANACH. Definizione di spazio metrico. La metrica euclidea
su R^n e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norma su di uno spazio
vettoriale. Successioni di Cauchy; criterio di convergenza di Cauchy per le
successioni di numeri reali (complemento al programma di Analisi Matematica
Uno). Spazi metrici completi. Spazi di Banach. Completezza
dell'insieme dei numeri reali come spazio metrico. Altri esempi (spazi C^0, C^1, C^k). Funzioni Lipschitziane su di uno
spazio metrico. Caratterizzazione delle funzioni derivabili e Lipschtziane in
un intervallo di R. Contrazioni. Il teorema delle contrazioni. (Paragrafi
13, 14, 18, 19, 20, 21; paragrafi 35 e 85 di Analisi Matematica Uno)
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Il problema di Cauchy. Il teorema di Cauchy di esistenza ed unicità locale, o in piccolo, per le equazioni (e per i sistemi di equazioni) differenziali non lineari. Formulazione integrale equivalente. Utilizzazione degli spazi funzionali, del teorema delle contrazioni. Corollari al teorema di Cauchy. Il teorema di esistenza ed unicità globale, o in grande (enunciato e cenno di dimostrazione). Modello matematico per lo studio della diffusione di una infezione. Metodi di risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine e di ordine superiore, sia in forma normale che in forma non normale; in particolare equazioni differenziali a variabili separabili, lineari, di Bernoulli, omogenee, equazioni di Clairaut, ecc. Metodi di risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del secondo ordine: equazioni del tipo F(x,y',y")=0 e del tipo F(y,y',y")=0. Analisi qualitativa delle soluzioni. (Paragrafi 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49)
CURVE IN R^n. Curve in R^n: curve regolari e curve regolari a tratti, curve orientate, equazione della retta tangente. Definizione della lunghezza di una curva in R^n. Teorema di rettificabilità: lunghezza di una curva di classe C^1. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Interpretazioni geometrica, fisica, analitica. (Paragrafi 60, 61, 62, 63)
FORME DIFFERENZIALI LINEARI. Campi vettoriali. Forme differenziali lineari in R^n. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Primitive. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte in R^n. Forme differenziali chiuse. Le forme differenziali esatte sono anche chiuse. Forme differenziali chiuse in un rettangolo del piano. Esempi di forme chiuse ma non esatte in un aperto di R^2. Aperti semplicemente connessi in R^2. Forme differenziali chiuse in un aperto semplicemente connesso di R^2. Calcolo di integrali curvilinei di forme differenziali lineari; ricerca di primitive. (Paragrafi 68, 69, 70, 71, 76)
INTEGRALI DOPPI. INTEGRALI TRIPLI E MULTIPLI. Domini normali in R^2.
Partizioni. Somme integrali. Definizione di integrale doppio di una funzione
limitata su di un dominio normale. Integrabilità delle funzioni continue.
Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di Gauss-Green (con
dimostrazione semplificata). Teorema della divergenza. Formula di Stokes.
Formule di integrazione per parti. Formula di cambiamento di variabili (senza
dimostrazione). Coordinate polari. Calcolo di aree e di volumi. Esercizi
sull'uso delle formule di Gauss-Green e calcolo di integrali doppi. Integrali
tripli e integrali su R^n. Formule di riduzione e formula di cambiamento
di variabili (senza dimostrazione). (Paragrafi 74, 75, 76, 77, 78)
FUNZIONI IMPLICITE. Funzioni y = f(x) definite implicitamente da un’equazione del tipo F(x,y) = 0. Il teorema del Dini per le equazioni: esistenza, continuità e formula per la derivata della funzione implicita. Equazione della retta tangente all’insieme di livello di una funzione F(x,y) di due variabili. Massimi e minimi relativi della funzione implicita. Rappresentazione cartesiana di alcuni luoghi geometrici: ad esempio Asteroide, Strofoide, Lemniscata di Bernoulli, Folium di Cartesio. Il teorema del Dini per un'equazione definita da una funzione di più variabili. Il teorema del Dini per i sistemi, invertibilità locale (senza dimostrazione). (Paragrafi 101, 102, 103)
Si fa riferimento ai numeri dei
paragrafi del libro:
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica Due,
Liguori Editore.
Firenze, 8 maggio 2016