Università di Firenze
Corso di laurea in Matematica
Primo
e Secondo modulo di Analisi (Analisi Matematica Uno)
A.A. 2006-2007
Orario delle lezioni e delle esercitazioni del corso di Analisi Matematica I (e II) modulo
Ora |
lunedì |
martedì |
mercoledì |
giovedì |
venerdì |
8.30 – 9.30 |
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9.30 – 10.30 |
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10.30 – 11.30 |
Lezione Analisi I modulo |
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Lezione Analisi I modulo |
Esercitazione Analisi I modulo |
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11.30 – 12.30 |
Esercitazione Analisi I modulo |
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Lezione Analisi I modulo |
Esercitazione Analisi I modulo |
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12.30 – 13.30 |
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Le lezioni e le esercitazioni si terranno nell’aula 2 del Dipartimento di Matematica “U. Dini”, in Viale Morgagni 67. Inizio delle lezioni: lunedì 2 ottobre 2006.
Testi consigliati di teoria:
P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi
Matematica Uno, Liguori Editore.
E. Giusti, Analisi matematica 1,
Boringhieri.
Testi di esercizi:
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di
Matematica, Liguori Editore, Primo Volume (parte prima e parte
seconda).
Il Primo e il Secondo modulo di Analisi sono articolati in lezioni
(tenute dal Prof. Paolo Marcellini) ed esercitazioni (tenute dal
Dott. Emanuele Paolini). Il ciclo di lezioni del primo modulo terminerà
alla fine del mese di dicembre 2006, mentre nella prima metà del mese di
gennaio 2007 si terrà una settimana di lezioni ed esercitazioni, di riepilogo.
Le lezioni del secondo modulo inizieranno nel febbraio 2007 e
termineranno nel mese di maggio 2007.
L'esame consiste in
una prova scritta ed una prova orale al termine di ogni modulo; tali prove si
terranno in più sessioni ripetute durante il corso dell'anno, al termine del
ciclo di lezioni ed esercitazioni, con inizio a metà del mese di gennaio 2007,
relativamente al primo modulo. L'esame scritto alla fine di ogni modulo
consente l'ammissione alla prova orale se la votazione riportata è maggiore o
uguale a 14/30.
Durante il corso sono
previste alcune prove scritte preliminari di verifica
dell'apprendimento, due per il primo modulo e due per il secondo. Se la
votazione riportata nelle due prove è sufficiente (almeno 18/30) lo studente è
esonerato dal sostenere l'esame scritto alla fine del corrispondente modulo,
che altrimenti è obbligatorio.
E’ consentito
sostenere una unica prova scritta ed una unica prova orale al termine
del corso, valida per entrambi i moduli, in alternativa a due esami
distinti per i due moduli. Se la votazione riportata su tre prove fra le
quattro prove scritte preliminari, complessivamente previste nei due moduli, è
sufficiente (almeno 18/30), lo studente è esonerato dal sostenere
l'esame scritto alla fine del corso che, unitamente ad una prova orale (anche
questa al termine del corso), come già detto vale per entrambi i moduli in
alternativa a due esami distinti per i due moduli.
Data prevista (date
indicative, che verranno fissate durante lo svolgimento del corso) per la prima
prova scritta preliminare: mercoledì 15 novembre 2006; data prevista per la
seconda prova scritta preliminare: giovedì 14 dicembre 2006. (Primi)
esami alla fine del primo modulo: due appelli, uno nella seconda metà del
mese di gennaio 2007 ed un secondo nella prima metà del mese di febbraio. Si
potrà organizzare un preappello orale intorno alla metà del mese di
gennaio 2007, riservato agli studenti che avranno ottenuto l’esonero dal
sostenere la prova scritta.
Il Programma del
Corso sarà di massima il seguente (il programma definitivo verrà distribuito
alla fine di ogni modulo di lezioni ed esercitazioni. Per uno schema dei
vari argomenti ciccare qui):
Primo modulo:
I NUMERI E LE FUNZIONI REALI. Il sistema dei
numeri reali. Numeri naturali, interi, razionali. Esistenza di numeri
irrazionali (in particolare: la radice quadrata di 2 non è un numero
razionale). Funzioni reali di variabile reale. Funzioni invertibili. Funzioni
monotóne. Proprietà e grafici delle funzioni elementari. Valore assoluto. Disuguaglianza
triangolare. L'assioma di completezza. Massimo, minimo, estremo superiore,
estremo inferiore. Esistenza dell'estremo superiore. Il principio di induzione.
La disuguaglianza di Bernoulli. Calcolo combinatorio. Formula del binomio di
Newton. Numeri complessi: forma algebrica e trigonometrica, rappresentazione
geometrica, operazioni, potenze e radici. (Paragrafi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 13, 15, 16, 17)
LIMITI DI SUCCESSIONI. Definizione di limite
(finito o infinito) di una successione. Prime proprietà: unicità del limite,
limitatezza delle successioni convergenti. Teorema della permanenza del segno,
dei carabinieri e altri teoremi di confronto. Operazioni con i limiti: somma,
prodotto, quoziente. Forme indeterminate. Limite del prodotto di una
successione infinitesima per una limitata. Limiti notevoli. Successioni monotòne.
Teorema sulle successioni monotòne. Monotonia e limitatezza della successione
(1+1/n)^n. Il numero e. Successioni definite per ricorrenza. Infiniti di
ordine crescente. Criterio del rapporto per le successioni. Successioni
estratte. Il teorema di Bolzano-Weierstrass. (Paragrafi 22, 23, 24, 25, 26,
27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34)
LIMITI DI FUNZIONI. Definizione di limite
(finito o infinito) di una funzione reale di variabile reale, in un punto al
finito o all'infinito. Limiti destro e sinistro. Legame tra limiti di funzioni
e limiti di successioni. Proprietà dei limiti di funzioni. (Paragrafi 40,
41, 42, 43)
FUNZIONI CONTINUE. Definizione. Esempi e prime
proprietà. Punti di discontinuità. Teorema della permanenza del segno. Teorema
dell'esistenza degli zeri. Teorema dell'esistenza dei valori intermedi. Metodo
di bisezione. Teorema di Weierstrass. Continuità delle funzioni monotòne e
delle funzioni inverse. (Paragrafi 44, 45, 46, 47, 48, 49)
DERIVATE. Rapporto incrementale. Definizione
di derivata. Significato meccanico della derivata. Continuità delle funzioni
derivabili. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente. Derivate delle
funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari.
Equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Le funzioni
trigonometriche inverse. Le funzioni iperboliche e le loro inverse. (Paragrafi
52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59)
APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDIO DI
FUNZIONI. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, di
Lagrange, di Cauchy. Funzioni crescenti e decrescenti; criterio di monotonia.
Funzioni convesse e concave; criterio di convessità. Flessi. Il teorema di
L'Hopital nel caso generale (0/0 e infinito
su infinito). Grafico di una funzione. Funzioni convesse in un
intervallo. (Paragrafi 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 69)
Secondo modulo:
INTEGRALI DEFINITI SECONDO RIEMANN. Il metodo
di esaustione. Partizioni. Somme integrali. Integrabilità secondo Riemann.
Definizione e proprietà degli integrali definiti. Criterio di integrabilità.
Continuità uniforme. Teorema di Cantor. Funzioni Lipschtziane. Integrabilità
delle funzioni continue. Il teorema della media. (Paragrafi 78, 79, 80, 81,
82, 83, 85)
INTEGRALI INDEFINITI E APPLICAZIONI. Funzione
integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive.
Caratterizzazione dell'insieme delle primitive di una funzione continua in un
intervallo. Formula fondamentale del calcolo integrale. Definizione e proprietà
degli integrali indefiniti. Metodi di integrazione indefinita per
decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Divisione tra polinomi.
Integrazione delle funzioni razionali. Formula di integrazione per sostituzione
per gli integrali definiti. Calcolo di aree di figure piane. Integrali
impropri. Definizione delle funzioni logaritmo, esponenziale, potenza, mediante
l’uso degli integrali. (Paragrafi 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94,
95, 97)
FORMULA DI TAYLOR. La formula di Taylor con il
resto di Peano, con il resto integrale e con il resto di Lagrange. La formula
di Taylor delle funzioni elementari. Il simbolo "o piccolo". Uso
della formula di Taylor nel calcolo di limiti. Tabulazione di funzioni.
Rappresentazione numerica approssimata del numero e. Il binomio di Newton come
conseguenza della formula di Taylor. (Paragrafi 66, 98, 99, 100, 101, 102,
103)
SERIE NUMERICHE. Serie numeriche convergenti,
divergenti, indeterminate. Carattere delle serie a termini non negativi. La serie
geometrica. La serie armonica e la serie armonica generalizzata. Criteri di
convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto, degli
infinitesimi, del rapporto, della radice. Criterio di convergenza per le serie
alternate. Convergenza assoluta. Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità
per le serie di Taylor. Il paradosso di Zenone. (Paragrafi 104, 105, 106,
107, 108 109, 110, 112, 114)