Università di Firenze
Corso di laurea in Matematica

Primo e Secondo modulo di Analisi (Analisi Matematica Uno)

A.A. 2006-2007
  Orario delle lezioni e delle esercitazioni del corso di Analisi Matematica I (e II) modulo

  Ora

 lunedì

 martedì

 mercoledì

 giovedì

 venerdì

 8.30 – 9.30

 

 

 

 

 

 9.30 – 10.30

 

 

 

 

 

10.30 – 11.30

Lezione Analisi I modulo

 

Lezione Analisi I modulo

Esercitazione Analisi I modulo

 

11.30 – 12.30

Esercitazione Analisi I modulo

 

Lezione Analisi I modulo

Esercitazione Analisi I modulo

 

12.30 – 13.30

 

 

 

 

 

Le lezioni e le esercitazioni si terranno nell’aula 2 del Dipartimento di Matematica “U. Dini”, in Viale Morgagni 67. Inizio delle lezioni: lunedì 2 ottobre 2006.

Testi consigliati di teoria:
P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
E. Giusti, Analisi matematica 1, Boringhieri.

Testi di esercizi:
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore, Primo Volume (parte prima e parte seconda).

Il Primo e il Secondo modulo di Analisi sono articolati in lezioni (tenute dal Prof. Paolo Marcellini) ed esercitazioni (tenute dal Dott. Emanuele Paolini). Il ciclo di lezioni del primo modulo terminerà alla fine del mese di dicembre 2006, mentre nella prima metà del mese di gennaio 2007 si terrà una settimana di lezioni ed esercitazioni, di riepilogo. Le lezioni del secondo modulo inizieranno nel febbraio 2007 e termineranno nel mese di maggio 2007.

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale al termine di ogni modulo; tali prove si terranno in più sessioni ripetute durante il corso dell'anno, al termine del ciclo di lezioni ed esercitazioni, con inizio a metà del mese di gennaio 2007, relativamente al primo modulo. L'esame scritto alla fine di ogni modulo consente l'ammissione alla prova orale se la votazione riportata è maggiore o uguale a 14/30.

Durante il corso sono previste alcune prove scritte preliminari di verifica dell'apprendimento, due per il primo modulo e due per il secondo. Se la votazione riportata nelle due prove è sufficiente (almeno 18/30) lo studente è esonerato dal sostenere l'esame scritto alla fine del corrispondente modulo, che altrimenti è obbligatorio.

E’ consentito sostenere una unica prova scritta ed una unica prova orale al termine del corso, valida per entrambi i moduli, in alternativa a due esami distinti per i due moduli. Se la votazione riportata su tre prove fra le quattro prove scritte preliminari, complessivamente previste nei due moduli, è sufficiente (almeno 18/30), lo studente è esonerato dal sostenere l'esame scritto alla fine del corso che, unitamente ad una prova orale (anche questa al termine del corso), come già detto vale per entrambi i moduli in alternativa a due esami distinti per i due moduli.

Data prevista (date indicative, che verranno fissate durante lo svolgimento del corso) per la prima prova scritta preliminare: mercoledì 15 novembre 2006; data prevista per la seconda prova scritta preliminare: giovedì 14 dicembre 2006. (Primi) esami alla fine del primo modulo: due appelli, uno nella seconda metà del mese di gennaio 2007 ed un secondo nella prima metà del mese di febbraio. Si potrà organizzare un preappello orale intorno alla metà del mese di gennaio 2007, riservato agli studenti che avranno ottenuto l’esonero dal sostenere la prova scritta.

Il Programma del Corso sarà di massima il seguente (il programma definitivo verrà distribuito alla fine di ogni modulo di lezioni ed esercitazioni. Per uno schema dei vari argomenti ciccare qui):

Primo modulo:

I NUMERI E LE FUNZIONI REALI. Il sistema dei numeri reali. Numeri naturali, interi, razionali. Esistenza di numeri irrazionali (in particolare: la radice quadrata di 2 non è un numero razionale). Funzioni reali di variabile reale. Funzioni invertibili. Funzioni monotóne. Proprietà e grafici delle funzioni elementari. Valore assoluto. Disuguaglianza triangolare. L'assioma di completezza. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Esistenza dell'estremo superiore. Il principio di induzione. La disuguaglianza di Bernoulli. Calcolo combinatorio. Formula del binomio di Newton. Numeri complessi: forma algebrica e trigonometrica, rappresentazione geometrica, operazioni, potenze e radici. (Paragrafi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 17)

LIMITI DI SUCCESSIONI. Definizione di limite (finito o infinito) di una successione. Prime proprietà: unicità del limite, limitatezza delle successioni convergenti. Teorema della permanenza del segno, dei carabinieri e altri teoremi di confronto. Operazioni con i limiti: somma, prodotto, quoziente. Forme indeterminate. Limite del prodotto di una successione infinitesima per una limitata. Limiti notevoli. Successioni monotòne. Teorema sulle successioni monotòne. Monotonia e limitatezza della successione (1+1/n)^n. Il numero e. Successioni definite per ricorrenza. Infiniti di ordine crescente. Criterio del rapporto per le successioni. Successioni estratte. Il teorema di Bolzano-Weierstrass. (Paragrafi 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34)

LIMITI DI FUNZIONI. Definizione di limite (finito o infinito) di una funzione reale di variabile reale, in un punto al finito o all'infinito. Limiti destro e sinistro. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Proprietà dei limiti di funzioni. (Paragrafi 40, 41, 42, 43)

FUNZIONI CONTINUE. Definizione. Esempi e prime proprietà. Punti di discontinuità. Teorema della permanenza del segno. Teorema dell'esistenza degli zeri. Teorema dell'esistenza dei valori intermedi. Metodo di bisezione. Teorema di Weierstrass. Continuità delle funzioni monotòne e delle funzioni inverse. (Paragrafi 44, 45, 46, 47, 48, 49)

DERIVATE. Rapporto incrementale. Definizione di derivata. Significato meccanico della derivata. Continuità delle funzioni derivabili. Derivata della somma, del prodotto, del quoziente. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Le funzioni trigonometriche inverse. Le funzioni iperboliche e le loro inverse. (Paragrafi 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59)

APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDIO DI FUNZIONI. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, di Lagrange, di Cauchy. Funzioni crescenti e decrescenti; criterio di monotonia. Funzioni convesse e concave; criterio di convessità. Flessi. Il teorema di L'Hopital nel caso generale (0/0 e  infinito su infinito). Grafico di una funzione. Funzioni convesse in un intervallo. (Paragrafi 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 69)

Secondo modulo:

INTEGRALI DEFINITI SECONDO RIEMANN. Il metodo di esaustione. Partizioni. Somme integrali. Integrabilità secondo Riemann. Definizione e proprietà degli integrali definiti. Criterio di integrabilità. Continuità uniforme. Teorema di Cantor. Funzioni Lipschtziane. Integrabilità delle funzioni continue. Il teorema della media. (Paragrafi 78, 79, 80, 81, 82, 83, 85)

INTEGRALI INDEFINITI E APPLICAZIONI. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive. Caratterizzazione dell'insieme delle primitive di una funzione continua in un intervallo. Formula fondamentale del calcolo integrale. Definizione e proprietà degli integrali indefiniti. Metodi di integrazione indefinita per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Divisione tra polinomi. Integrazione delle funzioni razionali. Formula di integrazione per sostituzione per gli integrali definiti. Calcolo di aree di figure piane. Integrali impropri. Definizione delle funzioni logaritmo, esponenziale, potenza, mediante l’uso degli integrali. (Paragrafi 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 97)

FORMULA DI TAYLOR. La formula di Taylor con il resto di Peano, con il resto integrale e con il resto di Lagrange. La formula di Taylor delle funzioni elementari. Il simbolo "o piccolo". Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti. Tabulazione di funzioni. Rappresentazione numerica approssimata del numero e. Il binomio di Newton come conseguenza della formula di Taylor. (Paragrafi 66, 98, 99, 100, 101, 102, 103)

SERIE NUMERICHE. Serie numeriche convergenti, divergenti, indeterminate. Carattere delle serie a termini non negativi. La serie geometrica. La serie armonica e la serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto, degli infinitesimi, del rapporto, della radice. Criterio di convergenza per le serie alternate. Convergenza assoluta. Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità per le serie di Taylor. Il paradosso di Zenone. (Paragrafi 104, 105, 106, 107, 108 109, 110, 112, 114)