Università di Firenze
Corso di
laurea in Matematica
Analisi Matematica – Primo
modulo- A.A. 2006-2007
Programma del primo modulo
del corso di Analisi (Analisi
Matematica Uno)
(Prof. Paolo Marcellini)
I NUMERI E LE FUNZIONI REALI. Il sistema dei numeri reali. Numeri naturali, interi, razionali. Esistenza di numeri irrazionali (in particolare: la radice quadrata di 2 non è un numero razionale). Funzioni reali di variabile reale. Funzioni invertibili. Funzioni monotòne. Proprietà e grafici delle funzioni elementari. Valore assoluto. Disuguaglianza triangolare. L'assioma di completezza. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Esistenza dell'estremo superiore. Il principio di induzione. La disuguaglianza di Bernoulli. (Paragrafi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13)
LIMITI DI SUCCESSIONI. Definizione di limite (finito o infinito) di una successione. Prime proprietà: unicità del limite, limitatezza delle successioni convergenti. Teorema della permanenza del segno, dei carabinieri e altri teoremi di confronto. Operazioni con i limiti: somma, prodotto, quoziente. Forme indeterminate. Limite del prodotto di una successione infinitesima per una limitata. Limiti notevoli. Successioni monotòne. Teorema sulle successioni monotòne. Monotonia e limitatezza della successione (1+1/n)^n. Il numero e. Successioni definite per ricorrenza. Infiniti di ordine crescente. Criterio del rapporto per le successioni. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Facoltativo: limite inferiore e limite superiore di una successione. (Paragrafi 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 39)
LIMITI DI FUNZIONI. Definizione di limite (finito o infinito) di una funzione reale di variabile reale, in un punto al finito o all'infinito. Limiti destro e sinistro. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Proprietà dei limiti di funzioni. (Paragrafi 40, 41, 42, 43)
FUNZIONI CONTINUE. Definizione. Esempi e proprietà. Punti di discontinuità. Teorema della permanenza del segno. Teoremi dell'esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Metodo di bisezione per il calcolo delle radici di una equazione. Teorema di Weierstrass. (Paragrafi 44, 45, 46, 47, 48)
DERIVATE. Rapporto incrementale. Definizione di derivata. Significato meccanico della derivata. Continuità delle funzioni derivabili. Operazioni con le derivate: derivata della somma, del prodotto, del quoziente. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Significato geometrico della derivata: equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Le funzioni trigonometriche inverse. (Paragrafi 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58)
APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. PRIMI STUDI DI
FUNZIONE. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Funzioni crescenti e
decrescenti. Criterio di monotonia (senza dimostrazione). Applicazioni:
determinazione degli intervalli di monotonia di una funzione; esistenza di
soluzioni di equazioni algebriche e trascendenti. (Paragrafi
60, 62)
Si fa
riferimento ai numeri dei paragrafi del libro:
P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi
Matematica Uno, Liguori Editore.
Firenze, 15 dicembre 2006