Università di Firenze
Corso di
laurea in Matematica
Analisi Matematica – Secondo
modulo- A.A. 2006-2007
Programma del secondo modulo
del corso di Analisi (Analisi
Matematica Uno)
(Prof. Paolo Marcellini)
APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDI DI FUNZIONI. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, di Lagrange, di Cauchy. Funzioni crescenti e decrescenti; criterio di monotonia. Funzioni convesse e concave; criterio di convessità. Flessi. Il teorema di L'Hôpital nel caso generale (il caso infinito su infinito senza dimostrazione). Studio del grafico di una funzione. Funzioni convesse in un intervallo. (Paragrafi 63, 64, 65, 67, 69)
INTEGRALI DEFINITI SECONDO RIEMANN. Il metodo di esaustione. Partizioni. Somme integrali. Integrabilità secondo Riemann. Definizione e proprietà degli integrali definiti. Criterio di integrabilità. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Cantor. Integrabilità delle funzioni continue. Il teorema della media. Funzioni Lipschtziane. Caratterizzazione delle funzioni derivabili e Lipschtziane in un intervallo. (Paragrafi 78, 79, 80, 81, 82, 83, 85)
INTEGRALI INDEFINITI E APPLICAZIONI. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive. Caratterizzazione dell'insieme delle primitive di una funzione continua in un intervallo. Formula fondamentale del calcolo integrale. Definizione e proprietà degli integrali indefiniti. Metodi di integrazione indefinita per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Divisione tra polinomi. Integrazione delle funzioni razionali. Formula di integrazione per sostituzione per gli integrali definiti. Calcolo di aree di figure piane. Definizione delle funzioni logaritmo, esponenziale, potenza, mediante l’uso degli integrali. (Paragrafi 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 97)
FORMULA DI TAYLOR. La formula di Taylor con il resto di Peano, con il resto integrale e con il resto di Lagrange. La formula di Taylor delle funzioni elementari. Il simbolo "o piccolo". Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti. (Paragrafi 66, 98, 99, 100, 101)
SERIE NUMERICHE. Serie numeriche convergenti, divergenti, indeterminate. Carattere delle serie a termini non negativi. La serie geometrica. La serie armonica e la serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto, degli infinitesimi, del rapporto, della radice. Criterio di convergenza per le serie alternate. Convergenza assoluta. Il paradosso di Zenone (facoltativo). (Paragrafi 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 114)
Si fa
riferimento ai numeri dei paragrafi del libro:
P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
Firenze, 21 maggio 2007