Università di Firenze
Facoltà
di Scienze MFN - Corso di laurea in Matematica
http://web.math.unifi.it/users/marcellini/
Analisi Matematica Uno - A.A. 2010-2011
Orario delle lezioni e delle esercitazioni del corso di Analisi Matematica Uno
Ora |
lunedì |
martedì |
mercoledì |
giovedì |
venerdì |
8.30 – 9.30 |
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Lezione Analisi Matematica Uno |
9.30 – 10.30 |
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Esercitazione Analisi Matematica Uno |
10.30 – 11.30 |
Esercitazione Analisi Matematica Uno |
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Lezione Analisi Matematica
Uno |
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11.30 – 12.30 |
Esercitazione Analisi Matematica Uno |
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Lezione Analisi Matematica Uno |
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12.30 – 13.30 |
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Le lezioni e le esercitazioni si terranno, con l’orario sopra indicato, nell’aula 3 del Dipartimento di Matematica “U. Dini”, in Viale Morgagni 67/A.
Inizio delle lezioni: lunedì 4 ottobre 2010.
Testi consigliati di teoria:
P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi
Matematica Uno, Liguori Editore.
E. Giusti, Analisi matematica 1,
Boringhieri.
Testi di esercizi:
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica,
Liguori Editore, Primo Volume (parte prima e parte seconda).
Il corso di Analisi Matematica Uno è articolato in lezioni
(tenute dal Prof. Paolo
Marcellini) ed esercitazioni (tenute dal Dott. Emanuele Paolini). Il
ciclo di lezioni ed esercitazioni si terrà dal mese di ottobre 2010 al mese di
maggio 2011.
L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale;
tali prove si terranno in più sessioni al termine del ciclo di lezioni ed
esercitazioni, con inizio nel maggio/giugno 2011 (le date precise delle
sessioni di esame verranno comunicate con congruo anticipo, secondo i criteri
del Corso di Laurea in Matematica). L'esame scritto consente l'ammissione alla
prova orale se la votazione riportata è maggiore o uguale a 14/30. Lo studente
può sostenere la prova orale nello stesso appello in cui ha superato lo scritto
e, qualora non utilizzi tale possibilità, anche nell’appello immediatamente
successivo.
Durante il corso sono previste tre prove scritte preliminari
di verifica dell'apprendimento. Se la votazione riportata in almeno due
prove su tre è sufficiente (voto 18/30 o superiore) lo studente è
esonerato dal sostenere l'esame scritto, che altrimenti è obbligatorio. In
tal caso lo studente è ammesso direttamente alla prova orale, con voto (dello
scritto, base per determinare il voto finale dopo la prova orale) calcolato
come media dei due voti migliori fra le tre prove preliminari.
Periodo previsto per la prima prova scritta preliminare: fra
dicembre 2010 e gennaio 2011; la seconda prova scritta preliminare si
terrà presumibilmente alla fine del mese di marzo o inizio aprile 2011; infine
la terza prova scritta preliminare si terrà nel mese di maggio 2011. (Primi)
esami alla fine del corso di lezioni ed esercitazioni: due appelli, uno nel
mese di giugno 2011 ed un secondo nel mese di luglio. Si potrà organizzare un preappello
orale intorno alla seconda metà del mese di maggio 2011, riservato agli
studenti che avranno ottenuto l’esonero dal sostenere la prova scritta.
Il Programma del Corso sarà di massima il seguente (il programma
definitivo verrà distribuito alla fine del corso di lezioni ed esercitazioni):
I NUMERI E LE
FUNZIONI REALI. Il sistema dei numeri reali. Numeri naturali, interi,
razionali. Esistenza di numeri irrazionali (in particolare: la radice quadrata
di 2 non è un numero razionale). Funzioni reali di variabile reale. Funzioni
invertibili. Funzioni monotóne. Proprietà e grafici delle funzioni elementari.
Valore assoluto. Disuguaglianza triangolare. L'assioma di completezza. Massimo,
minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Esistenza dell'estremo superiore.
Il principio di induzione. La disuguaglianza di Bernoulli. Calcolo
combinatorio. Formula del binomio di Newton. Numeri complessi: forma algebrica
e trigonometrica, rappresentazione geometrica, operazioni, potenze e radici. (Paragrafi
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 17)
LIMITI DI
SUCCESSIONI. Definizione di limite (finito o infinito) di una successione.
Prime proprietà: unicità del limite, limitatezza delle successioni convergenti.
Teorema della permanenza del segno, dei carabinieri e altri teoremi di
confronto. Operazioni con i limiti: somma, prodotto, quoziente. Forme
indeterminate. Limite del prodotto di una successione infinitesima per una
limitata. Limiti notevoli. Successioni monotòne. Teorema sulle successioni
monotòne. Monotonia e limitatezza della successione (1+1/n)^n. Il numero e.
Successioni definite per ricorrenza. Infiniti di ordine crescente. Criterio del
rapporto per le successioni. Successioni estratte. Il teorema di
Bolzano-Weierstrass. (Paragrafi 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32,
33, 34)
LIMITI DI FUNZIONI.
Definizione di limite (finito o infinito) di una funzione reale di variabile
reale, in un punto al finito o all'infinito. Limiti destro e sinistro. Legame
tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Proprietà dei limiti di
funzioni. (Paragrafi 40, 41, 42, 43)
FUNZIONI CONTINUE.
Definizione. Esempi e prime proprietà. Punti di discontinuità. Teorema della
permanenza del segno. Teorema dell'esistenza degli zeri. Teorema dell'esistenza
dei valori intermedi. Metodo di bisezione. Teorema di Weierstrass. Continuità
delle funzioni monotòne e delle funzioni inverse. (Paragrafi 44, 45, 46, 47,
48, 49)
DERIVATE. Rapporto
incrementale. Definizione di derivata. Significato meccanico della derivata.
Continuità delle funzioni derivabili. Derivata della somma, del prodotto, del
quoziente. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate
delle funzioni elementari. Equazione della retta tangente al grafico di una
funzione. Le funzioni trigonometriche inverse. Le funzioni iperboliche e le
loro inverse. (Paragrafi 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59)
APPLICAZIONI DELLE
DERIVATE. STUDIO DI FUNZIONI. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat.
Teoremi di Rolle, di Lagrange, di Cauchy. Funzioni crescenti e decrescenti;
criterio di monotonia. Funzioni convesse e concave; criterio di convessità.
Flessi. Il teorema di L'Hopital nel caso generale (0/0 e infinito su infinito). Studio
del grafico di una funzione. Funzioni convesse in un intervallo. (Paragrafi
60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 69)
INTEGRALI DEFINITI
SECONDO RIEMANN. Il metodo di esaustione. Partizioni. Somme integrali.
Integrabilità secondo Riemann. Definizione e proprietà degli integrali
definiti. Criterio di integrabilità. Continuità uniforme. Teorema di Cantor.
Funzioni Lipschtziane. Caratterizzazione delle funzioni derivabili e
Lipschtziane in un intervallo. Integrabilità delle funzioni continue. Il
teorema della media. (Paragrafi 78, 79, 80, 81, 82, 83, 85)
INTEGRALI
INDEFINITI E APPLICAZIONI. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo
integrale. Primitive. Caratterizzazione dell'insieme delle primitive di una
funzione continua in un intervallo. Formula fondamentale del calcolo integrale.
Definizione e proprietà degli integrali indefiniti. Metodi di integrazione
indefinita per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Divisione
tra polinomi. Integrazione delle funzioni razionali. Formula di integrazione
per sostituzione per gli integrali definiti. Calcolo di aree di figure piane.
Integrali impropri. Definizione delle funzioni logaritmo, esponenziale,
potenza, mediante l’uso degli integrali. (Paragrafi 86, 87, 88, 89, 90, 91,
92, 93, 94, 95, 97)
FORMULA DI TAYLOR.
La formula di Taylor con il resto di Peano, con il resto integrale e con il
resto di Lagrange. La formula di Taylor delle funzioni elementari. Il simbolo
"o piccolo". Uso della
formula di Taylor nel calcolo di limiti. Tabulazione di funzioni.
Rappresentazione numerica approssimata del numero e. Il binomio di Newton come conseguenza della formula di Taylor. (Paragrafi
66, 98, 99, 100, 101, 102, 103)
SERIE NUMERICHE.
Serie numeriche convergenti, divergenti, indeterminate. Carattere delle serie a
termini non negativi. La serie geometrica. La serie armonica e la serie
armonica generalizzata. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi:
criterio del confronto, degli infinitesimi, del rapporto, della radice.
Criterio di convergenza per le serie alternate. Convergenza assoluta. Serie di
Taylor. Criterio di sviluppabilità per le serie di Taylor. Il paradosso di
Zenone. (Paragrafi 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 112, 114)
Firenze,
13 settembre 2010