Università di Firenze
Facoltà/Scuola di Scienze MFN
Corso di laurea in Matematica
Prof. Paolo Marcellini - Prof.
Emanuele Paolini
Programma del
corso:
I NUMERI
E LE FUNZIONI REALI. Il sistema dei numeri reali. Numeri naturali, interi,
razionali. Esistenza di numeri irrazionali (in particolare: la radice quadrata
di 2 non è un numero razionale). Funzioni reali di variabile reale. Funzioni
invertibili. Funzioni monotóne. Proprietà e grafici delle funzioni elementari.
Valore assoluto. Disuguaglianza triangolare. L'assioma di completezza. Massimo,
minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Esistenza dell'estremo superiore.
Il principio di induzione. La disuguaglianza di Bernoulli. (Paragrafi 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13)
LIMITI DI
SUCCESSIONI. Definizione di limite (finito o infinito) di una successione.
Prime proprietà: unicità del limite, limitatezza delle successioni convergenti.
Teorema della permanenza del segno, dei carabinieri e altri teoremi di
confronto. Operazioni con i limiti: somma, prodotto, quoziente. Forme
indeterminate. Limite del prodotto di una successione infinitesima per una
limitata. Limiti notevoli. Successioni monotòne. Teorema sulle successioni
monotòne. Monotonia e limitatezza della successione (1+1/n)^n. Il numero e.
Successioni definite per ricorrenza. Infiniti di ordine crescente. Criterio del
rapporto per le successioni. Successioni estratte. Il teorema di Bolzano-Weierstrass.
(Paragrafi 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34)
LIMITI DI
FUNZIONI. Definizione di limite (finito o infinito) di una funzione reale di
variabile reale, in un punto al finito o all'infinito. Limiti destro e
sinistro. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Proprietà dei
limiti di funzioni. (Paragrafi 40, 41, 42, 43)
FUNZIONI
CONTINUE. Definizione. Esempi e prime proprietà. Punti di discontinuità.
Teorema della permanenza del segno. Teorema dell'esistenza degli zeri. Teorema
dell'esistenza dei valori intermedi. Metodo di bisezione. Teorema di
Weierstrass. (Paragrafi 44, 45, 46, 47, 48)
DERIVATE.
Rapporto incrementale. Definizione di derivata. Significato meccanico della
derivata. Continuità delle funzioni derivabili. Derivata della somma, del
prodotto, del quoziente. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni
inverse. Derivate delle funzioni elementari. Equazione della retta tangente al
grafico di una funzione. Le funzioni trigonometriche inverse. (Paragrafi 52,
53, 54, 55, 56, 57, 58)
APPLICAZIONI
DELLE DERIVATE. STUDIO DI FUNZIONI. Massimi e minimi relativi. Teorema di
Fermat. Teoremi di Rolle, di Lagrange, di Cauchy. Funzioni crescenti e
decrescenti; criterio di monotonia. Funzioni convesse e concave; criterio di
convessità. Flessi. Il teorema di L'Hôpital nel caso generale (dimostrazione
solo nel caso 0/0). Studio del grafico di una funzione. (Paragrafi 60,
61, 62, 63, 64, 65, 67)
INTEGRALI
DEFINITI SECONDO RIEMANN. UNIFORME CONTINUITA’. Il metodo di esaustione. Partizioni.
Somme integrali. Integrabilità secondo Riemann. Definizione e proprietà degli
integrali definiti. Continuità uniforme. Teorema di Cantor. Funzioni
Lipschtziane. Caratterizzazione delle funzioni derivabili e Lipschtziane in un
intervallo. Integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media. (Paragrafi
78, 79, 80, 81, 82, 83, 85)
INTEGRALI
INDEFINITI E APPLICAZIONI. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo
integrale. Primitive. Caratterizzazione dell'insieme delle primitive di una
funzione continua in un intervallo. Formula fondamentale del calcolo integrale.
Definizione e proprietà degli integrali indefiniti. Metodi di integrazione
indefinita per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Divisione
tra polinomi. Integrazione delle funzioni razionali. Formula di integrazione
per sostituzione per gli integrali definiti. Calcolo di aree di figure piane. Integrali
impropri. Definizione delle funzioni logaritmo, esponenziale, potenza, mediante
l’uso degli integrali. (Paragrafi 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 95, 97)
FORMULA
DI TAYLOR. La formula di Taylor con il resto di Peano, con il resto integrale e
con il resto di Lagrange. La formula di Taylor delle funzioni elementari. Il
simbolo "o piccolo". Uso
della formula di Taylor nel calcolo di limiti. Tabulazione di funzioni.
Rappresentazione numerica approssimata del numero e. Irrazionalità del numero e. Il binomio di Newton come
conseguenza della formula di Taylor. (Paragrafi 66, 98, 99, 100, 101, 102,
103)
SERIE
NUMERICHE. Serie numeriche convergenti, divergenti, indeterminate. Carattere
delle serie a termini non negativi. La serie geometrica. La serie armonica e la
serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per le serie a termini
positivi: criterio del confronto, degli infinitesimi, del rapporto, della
radice. Criterio di convergenza per le serie alternate. Convergenza assoluta.
Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità per le serie di Taylor. Il
paradosso di Zenone. (Paragrafi 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 112, 114)
Si fa riferimento ai numeri dei
paragrafi del libro:
P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi
Matematica Uno, Liguori Editore.
Firenze, 20 aprile 2015