Università di Firenze
Facoltà
di Scienze MFN - Corso di laurea in Matematica
http://web.math.unifi.it/users/marcellini/
Terzo e Quarto modulo di Analisi (Analisi Matematica
Due)
Orario delle lezioni e delle esercitazioni del corso di Analisi Matematica III (e IV) modulo
Ora |
lunedì |
martedì |
mercoledì |
giovedì |
venerdì |
8.30 – 9.30 |
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9.30 – 10.30 |
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10.30 – 11.30 |
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Lezione Analisi Matematica III modulo |
Esercitazione Analisi Matematica III modulo |
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11.30 – 12.30 |
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Lezione Analisi Matematica III modulo |
Esercitazione Analisi Matematica III modulo |
Lezione Analisi Matematica III modulo |
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12.30 – 13.30 |
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Le lezioni e le esercitazioni si terranno, con l’orario sopra indicato, nell’aula 3 del Dipartimento di Matematica, in Viale Morgagni 67/A. Inizio delle lezioni: martedì 2 ottobre 2007.
Testi consigliati di teoria:
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi
Matematica Due, Liguori Editore.
E. Giusti, Analisi matematica 2,
Boringhieri.
Testi di esercizi:
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di
Matematica, Liguori Editore, Secondo Volume (parte prima
e parte seconda).
Il Terzo e il Quarto modulo di Analisi sono articolati in lezioni
(tenute dal Prof. Paolo Marcellini) ed esercitazioni (tenute dal
Dott. Emanuele Paolini). Il ciclo di lezioni del terzo modulo terminerà
il 21 dicembre 2007, mentre nella settimana dal 7 al 12 gennaio 2008 si terrà
una settimana di lezioni ed esercitazioni di riepilogo. Le lezioni del quarto
modulo inizieranno nella settimana del 25 febbraio 2008 e termineranno il 24
maggio 2008.
L'esame consiste in
una prova scritta ed una prova orale al termine di ogni modulo; tali prove si
terranno in più sessioni ripetute durante il corso dell'anno, al termine del
ciclo di lezioni ed esercitazioni, con inizio a metà del mese di gennaio 2008
relativamente al terzo modulo (le date precise delle sessioni di esame verranno
comunicate con congruo anticipo durante il corso di lezioni). L'esame scritto
alla fine di ogni modulo consente l'ammissione alla prova orale se la votazione
riportata è maggiore o uguale a 14/30. Lo studente può sostenere la prova orale
nello stesso appello in cui ha superato lo scritto e, qualora non utilizzi tale
possibilità, anche nell’appello immediatamente successivo.
Durante il corso
sono previste alcune prove scritte preliminari di verifica
dell'apprendimento, due per il terzo modulo e due per il quarto. Se la
votazione riportata nelle due prove è sufficiente (almeno 18/30) lo studente è
esonerato dal sostenere l'esame scritto alla fine del corrispondente modulo,
che altrimenti è obbligatorio.
E’ consentito
sostenere una unica prova scritta ed una unica prova orale al termine
del corso, valida per entrambi i moduli, in alternativa a due esami
distinti per i due moduli. Se la votazione riportata su tre prove fra le
quattro prove scritte preliminari, complessivamente previste nei due moduli, è
sufficiente (almeno 18/30), lo studente è esonerato dal sostenere
l'esame scritto alla fine del corso che, unitamente ad una prova orale (anche
questa al termine del corso), come già detto vale per entrambi i moduli in alternativa
a due esami distinti per i due moduli.
Periodo previsto
per la prima prova scritta preliminare: intorno alla metà del mese di
novembre 2007; e per la seconda prova scritta preliminare: metà dicembre
2007. (Primi) esami alla fine del terzo modulo: due appelli, uno nella
seconda metà del mese di gennaio 2008 ed un secondo nella prima metà del mese
di febbraio. Si potrà organizzare un preappello orale intorno alla metà
del mese di gennaio, riservato agli studenti che avranno ottenuto l’esonero dal
sostenere la prova scritta.
Il Programma del
Corso sarà di massima il seguente (il programma definitivo verrà distribuito
alla fine di ogni modulo di lezioni ed esercitazioni):
Terzo
modulo:
SUCCESSIONI E SERIE
DI FUNZIONI. Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni.
Il teorema di continuità del limite. I teoremi di passaggio al limite sotto il
segno di integrale e di derivata. Successioni di Cauchy; criterio di
convergenza di Cauchy per le successioni di numeri reali (complemento al
programma dei Moduli I e II). Serie di funzioni. Convergenza puntuale,
assoluta, uniforme e totale di una serie di funzioni. Criterio di convergenza
di Cauchy per le serie (puntuale e uniforme). La convergenza totale di una
serie di funzioni implica la sua convergenza uniforme. I teoremi di continuità
della somma di una serie, di integrazione e di derivazione per serie. Serie di
potenze. Raggio di convergenza. Raggio di convergenza della serie derivata.
Integrazione e derivazione di una serie di potenze. Serie di Taylor. Criterio
di sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi di alcune funzioni elementari. (Paragrafi
1, 2, 3, 5, 6, 7; paragrafo 35 di Analisi
Matematica Uno)
SPAZI METRICI E
SPAZI DI BANACH. Definizione di spazio metrico. La metrica euclidea su R^n
e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Successioni e funzioni continue in uno
spazio metrico. Spazi vettoriali. Prodotto scalare su R^n. Norma su di
uno spazio vettoriale. Spazi di Banach. Esempi. Funzioni Lipschitziane. Il
teorema delle contrazioni. Insiemi compatti. Teoremi sulle funzioni continue su
insiemi compatti (in particolare i teoremi di Weierstrass e di Cantor). Aperti
connessi su R^n. (Paragrafi
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23)
FUNZIONI REALI DI
DUE O PIU’ VARIABILI REALI. Richiami di topologia in R^n; in
particolare: intorni circolari, insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti;
disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; prodotto scalare e norma su R^n. Limiti e
continuità. I teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali. Derivate
successive. Il teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Il teorema del
differenziale. Il teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate
direzionali. Derivata direzionale di una funzione differenziabile.
Interpretazione geometrica del vettore gradiente. Caratterizzazione delle
funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso di R^n. Formula di
Taylor al secondo ordine con il resto di Lagrange e con il resto di Peano.
Forme quadratiche. Matrici quadrate definite, semidefinite e indefinite.
Massimi e minimi relativi per le funzioni di n variabili: condizioni
necessarie e condizioni sufficienti; condizioni sufficienti nel caso delle 2
variabili. Funzioni a valori vettoriali. Funzioni convesse su R^n.
Criteri di convessità. Complementi alle forme quadratiche. (Paragrafi 25,
26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 35, 36, 37, 38, 39, 40)
Quarto
modulo:
EQUAZIONI
DIFFERENZIALI. Il problema di Cauchy . Il teorema di Cauchy di esistenza ed
unicità locale, o in piccolo,
per le equazioni (e per i sistemi di equazioni) differenziali non
lineari. Corollari al teorema di Cauchy. Il teorema di esistenza ed unicità
globale, o in grande. Prolungabilità delle soluzioni. Metodi di
risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo e del secondo
ordine (e di ordine superiore), sia in forma normale che in forma non normale ;
in particolare equazioni differenziali a variabili separabili, lineari, di
Bernoulli, omogenee, di Clairaut, esatte, ecc. Analisi qualitativa delle soluzioni.
Proprietà generali delle equazioni differenziali lineari di ordine n.
Rappresentazione dell’integrale generale di una equazione differenziale lineare
di ordine n: integrale generale dell’equazione omogenea e dell’equazione
non omogenea. Il metodo della variazione delle costanti. Equazioni
differenziali lineari a coefficienti costanti; il caso particolare delle
equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti; termini noti di
tipo particolare. (Paragrafi
42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56)
FUNZIONI IMPLICITE.
Funzioni y = f(x) definite implicitamente da un’equazione del tipo F(x,y)
= 0. Il teorema del Dini per equazioni e per funzioni implicite di una
variabile. Il teorema del Dini per funzioni implicite di due o più variabili.
Il teorema del Dini per i sistemi. Invertibilità locale e globale. (Paragrafi
101, 102, 103)
CURVE E INTEGRALI
CURVILINEI. Curve regolari. Curve orientate. Lunghezza di una curva. Il teorema
di rettificabilità delle curve di classe C^1. Ascissa curvilinea. Integrale
curvilineo di una funzione. Curvatura di una curva piana. (Paragrafi 60, 61,
62, 63, 64)
FORME DIFFERENZIALI
LINEARI. Campi vettoriali. Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di
una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Forme
differenziali chiuse. Forme differenziali esatte nel piano. Aperti
semplicemente connessi in R^2. Forme differenziali nello spazio
tridimensionale. Campi irrotazionali. Aperti semplicemente connessi e forme
differenziali esatte in R^n. (Paragrafi 68, 69, 70, 71, 72, 73)
INTEGRALI DOPPI E
TRIPLI. INTEGRALI MULTIPLI. Domini normali in R^2. Partizioni. Somme integrali.
Integrali doppi su domini normali. Integrabilità delle funzioni continue su
domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di
Gauss-Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule di
integrazione per parti. Formula di cambiamento di variabili negli integrali
doppi. Coordinate polari. Integrali tripli. Calcolo di aree e di volumi.
Insiemi di R^n misurabili secondo Peano-Jordan. Integrale di Riemann su
R^n. Proprietà principali. (Paragrafi 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81)
SUPERFICI ED
INTEGRALI DI SUPERFICIE. Superfici regolari. Coordinate locali. Piano tangente.
Versore normale. Area di una superficie regolare. Superfici orientabili.
Integrali di superficie. La formula di Stokes in R^3. Il teorema della
divergenza. (Paragrafi 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100)