Università di Firenze
Facoltà di Scienze MFN - Corso di laurea in Matematica

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Terzo e Quarto modulo di Analisi (Analisi Matematica Due) - A.A. 2007-2008
  Orario delle lezioni e delle esercitazioni del corso di Analisi Matematica III (e IV) modulo

 

 

  Ora

 lunedì

 martedì

 mercoledì

 giovedì

 venerdì

 8.30 – 9.30

 

 

 

 

 

 9.30 – 10.30

 

 

 

 

 

10.30 – 11.30

 

Lezione

Analisi Matematica

III modulo

Esercitazione

Analisi Matematica

III modulo

 

 

11.30 – 12.30

                 

Lezione

Analisi Matematica

III modulo

Esercitazione

Analisi Matematica

III modulo

Lezione

Analisi Matematica

III modulo

 

12.30 – 13.30

 

 

 

 

 

 

Le lezioni e le esercitazioni si terranno, con l’orario sopra indicato, nell’aula 3 del Dipartimento di Matematica, in Viale Morgagni 67/A. Inizio delle lezioni: martedì 2 ottobre 2007.

Testi consigliati di teoria:
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore.
E. Giusti, Analisi matematica 2, Boringhieri.

Testi di esercizi:
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore, Secondo Volume (parte prima e parte seconda).

Il Terzo e il Quarto modulo di Analisi sono articolati in lezioni (tenute dal Prof. Paolo Marcellini) ed esercitazioni (tenute dal Dott. Emanuele Paolini). Il ciclo di lezioni del terzo modulo terminerà il 21 dicembre 2007, mentre nella settimana dal 7 al 12 gennaio 2008 si terrà una settimana di lezioni ed esercitazioni di riepilogo. Le lezioni del quarto modulo inizieranno nella settimana del 25 febbraio 2008 e termineranno il 24 maggio 2008.

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale al termine di ogni modulo; tali prove si terranno in più sessioni ripetute durante il corso dell'anno, al termine del ciclo di lezioni ed esercitazioni, con inizio a metà del mese di gennaio 2008 relativamente al terzo modulo (le date precise delle sessioni di esame verranno comunicate con congruo anticipo durante il corso di lezioni). L'esame scritto alla fine di ogni modulo consente l'ammissione alla prova orale se la votazione riportata è maggiore o uguale a 14/30. Lo studente può sostenere la prova orale nello stesso appello in cui ha superato lo scritto e, qualora non utilizzi tale possibilità, anche nell’appello immediatamente successivo.

Durante il corso sono previste alcune prove scritte preliminari di verifica dell'apprendimento, due per il terzo modulo e due per il quarto. Se la votazione riportata nelle due prove è sufficiente (almeno 18/30) lo studente è esonerato dal sostenere l'esame scritto alla fine del corrispondente modulo, che altrimenti è obbligatorio.

E’ consentito sostenere una unica prova scritta ed una unica prova orale al termine del corso, valida per entrambi i moduli, in alternativa a due esami distinti per i due moduli. Se la votazione riportata su tre prove fra le quattro prove scritte preliminari, complessivamente previste nei due moduli, è sufficiente (almeno 18/30), lo studente è esonerato dal sostenere l'esame scritto alla fine del corso che, unitamente ad una prova orale (anche questa al termine del corso), come già detto vale per entrambi i moduli in alternativa a due esami distinti per i due moduli.

Periodo previsto per la prima prova scritta preliminare: intorno alla metà del mese di novembre 2007; e per la seconda prova scritta preliminare: metà dicembre 2007. (Primi) esami alla fine del terzo modulo: due appelli, uno nella seconda metà del mese di gennaio 2008 ed un secondo nella prima metà del mese di febbraio. Si potrà organizzare un preappello orale intorno alla metà del mese di gennaio, riservato agli studenti che avranno ottenuto l’esonero dal sostenere la prova scritta.

 

Il Programma del Corso sarà di massima il seguente (il programma definitivo verrà distribuito alla fine di ogni modulo di lezioni ed esercitazioni):

Terzo modulo:

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni. Il teorema di continuità del limite. I teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Successioni di Cauchy; criterio di convergenza di Cauchy per le successioni di numeri reali (complemento al programma dei Moduli I e II). Serie di funzioni. Convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale di una serie di funzioni. Criterio di convergenza di Cauchy per le serie (puntuale e uniforme). La convergenza totale di una serie di funzioni implica la sua convergenza uniforme. I teoremi di continuità della somma di una serie, di integrazione e di derivazione per serie. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Raggio di convergenza della serie derivata. Integrazione e derivazione di una serie di potenze. Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi di alcune funzioni elementari. (Paragrafi 1, 2, 3, 5, 6, 7; paragrafo 35 di Analisi Matematica Uno)

SPAZI METRICI E SPAZI DI BANACH. Definizione di spazio metrico. La metrica euclidea su R^n e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Successioni e funzioni continue in uno spazio metrico. Spazi vettoriali. Prodotto scalare su R^n. Norma su di uno spazio vettoriale. Spazi di Banach. Esempi. Funzioni Lipschitziane. Il teorema delle contrazioni. Insiemi compatti. Teoremi sulle funzioni continue su insiemi compatti (in particolare i teoremi di Weierstrass e di Cantor). Aperti connessi su  R^n. (Paragrafi 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23)

FUNZIONI REALI DI DUE O PIU’ VARIABILI REALI. Richiami di topologia in R^n; in particolare: intorni circolari, insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti; disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; prodotto scalare e norma su R^n. Limiti e continuità. I teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali. Derivate successive. Il teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Il teorema del differenziale. Il teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali. Derivata direzionale di una funzione differenziabile. Interpretazione geometrica del vettore gradiente. Caratterizzazione delle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso di R^n. Formula di Taylor al secondo ordine con il resto di Lagrange e con il resto di Peano. Forme quadratiche. Matrici quadrate definite, semidefinite e indefinite. Massimi e minimi relativi per le funzioni di n variabili: condizioni necessarie e condizioni sufficienti; condizioni sufficienti nel caso delle 2 variabili. Funzioni a valori vettoriali. Funzioni convesse su R^n. Criteri di convessità. Complementi alle forme quadratiche. (Paragrafi 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 35, 36, 37, 38, 39, 40)

Quarto modulo:

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Il problema di Cauchy . Il teorema di Cauchy di esistenza ed unicità locale, o in piccolo,  per le equazioni (e per i sistemi di equazioni) differenziali non lineari. Corollari al teorema di Cauchy. Il teorema di esistenza ed unicità globale, o in grande. Prolungabilità delle soluzioni. Metodi di risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo e del secondo ordine (e di ordine superiore), sia in forma normale che in forma non normale ; in particolare equazioni differenziali a variabili separabili, lineari, di Bernoulli, omogenee, di Clairaut, esatte, ecc. Analisi qualitativa delle soluzioni. Proprietà generali delle equazioni differenziali lineari di ordine n. Rappresentazione dell’integrale generale di una equazione differenziale lineare di ordine n: integrale generale dell’equazione omogenea e dell’equazione non omogenea. Il metodo della variazione delle costanti. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti; il caso particolare delle equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti; termini noti di tipo particolare.  (Paragrafi 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56)

FUNZIONI IMPLICITE. Funzioni y = f(x) definite implicitamente da un’equazione del tipo F(x,y) = 0. Il teorema del Dini per equazioni e per funzioni implicite di una variabile. Il teorema del Dini per funzioni implicite di due o più variabili. Il teorema del Dini per i sistemi. Invertibilità locale e globale. (Paragrafi 101, 102, 103)

CURVE E INTEGRALI CURVILINEI. Curve regolari. Curve orientate. Lunghezza di una curva. Il teorema di rettificabilità delle curve di classe C^1. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Curvatura di una curva piana. (Paragrafi 60, 61, 62, 63, 64)

FORME DIFFERENZIALI LINEARI. Campi vettoriali. Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Forme differenziali esatte nel piano. Aperti semplicemente connessi in R^2. Forme differenziali nello spazio tridimensionale. Campi irrotazionali. Aperti semplicemente connessi e forme differenziali esatte in R^n. (Paragrafi 68, 69, 70, 71, 72, 73)

INTEGRALI DOPPI E TRIPLI. INTEGRALI MULTIPLI. Domini normali in R^2. Partizioni. Somme integrali. Integrali doppi su domini normali. Integrabilità delle funzioni continue su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule di integrazione per parti. Formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi. Coordinate polari. Integrali tripli. Calcolo di aree e di volumi. Insiemi di R^n misurabili secondo Peano-Jordan. Integrale di Riemann su R^n. Proprietà principali. (Paragrafi 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81)

SUPERFICI ED INTEGRALI DI SUPERFICIE. Superfici regolari. Coordinate locali. Piano tangente. Versore normale. Area di una superficie regolare. Superfici orientabili. Integrali di superficie. La formula di Stokes in R^3. Il teorema della divergenza. (Paragrafi 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100)