Università di Firenze
Facoltà di Scienze MFN - Corso di laurea in Matematica
Analisi Matematica – Quarto modulo- A.A. 2007-2008
Programma del quarto modulo del corso
di Analisi
(Analisi Matematica Due)
(Prof. Paolo Marcellini - www.math.unifi.it/users/marcellini)
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Il problema di Cauchy. Il teorema di Cauchy di esistenza ed unicità locale, o in piccolo, per le equazioni (e per i sistemi di equazioni) differenziali non lineari. Corollari al teorema di Cauchy. Il teorema di esistenza ed unicità globale, o in grande. Metodi di risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine e di ordine superiore, sia in forma normale che in forma non normale; in particolare equazioni differenziali a variabili separabili, lineari, di Bernoulli, omogenee, di Clairaut, esatte, ecc. Analisi qualitativa delle soluzioni. Equazioni differenziali lineari di ordine n. Metodo risolutivo per le equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti. (Paragrafi 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 55, 56)
FUNZIONI IMPLICITE. Funzione y = f(x) definita implicitamente da un’equazione del tipo F(x,y) = 0. Il teorema del Dini per le equazioni: esistenza, continuità e formula per la derivata della funzione implicita. Equazione della retta tangente all’insieme di livello di una funzione F(x,y) di due variabili. Criterio di Lipschitz per funzioni vettoriali; il teorema di invertibilità locale; il teorema del Dini per i sistemi. (Paragrafi 101, 102, 103)
FORME DIFFERENZIALI LINEARI. Curve regolari. Esempi. Campi vettoriali. Forme differenziali lineari in R^n. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare in R^n. Forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse in R^2. Forme differenziali chiuse in un rettangolo del piano. Esempi di forme chiuse ma non esatte. Aperti semplicemente connessi in R^2. Forme differenziali chiuse in un aperto semplicemente connesso. Calcolo di integrali curvilinei di forme differenziali lineari. (Paragrafi 60, 68, 69, 70, 71, 76)
INTEGRALI DOPPI. Domini normali in R^2. Partizioni. Somme integrali. Definizione di integrale doppio di una funzione limitata su di un dominio normale. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formula di cambiamento di variabili (senza dimostrazione). Coordinate polari. Formule di Gauss-Green (dimostrazione semplificata). Teorema della divergenza, formula di Stokes, integrazione per parti (senza dimostrazioni). Calcolo di aree e di volumi, esercizi. (Paragrafi 74, 75, 76, 77)
Si fa riferimento ai numeri dei paragrafi del libro:
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore.
Firenze, 21 maggio 2008