Università di Firenze
Facoltà di Scienze MFN - Corso di laurea in Matematica
Analisi Matematica – Terzo modulo- A.A. 2007-2008
Programma del terzo modulo del corso
di Analisi
(Analisi Matematica Due)
(Prof. Paolo Marcellini - www.math.unifi.it/users/marcellini)
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI.
Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni. Il teorema di
continuità del limite. I teoremi di passaggio al limite sotto il segno di
integrale e di derivata. Successioni di Cauchy; criterio di convergenza di
Cauchy per le successioni di numeri reali (complemento al programma dei
Moduli I e II). Serie di funzioni. Convergenza puntuale, assoluta, uniforme
e totale di una serie di funzioni. Criterio di convergenza di Cauchy per le
serie (puntuale e uniforme). La convergenza totale di una serie di funzioni
implica la sua convergenza uniforme. I teoremi di continuità della somma di una
serie, di integrazione e di derivazione per serie. Serie di potenze. Raggio di
convergenza. Raggio di convergenza della serie derivata (con dimostrazione
semplificata). Integrazione e derivazione di una serie di potenze. Serie di
Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi di alcune
funzioni elementari. (Paragrafi 1, 2, 3, 5, 6, 7; paragrafo 35 di Analisi
Matematica Uno)
SPAZI METRICI E SPAZI DI BANACH.
Definizione di spazio metrico. La metrica euclidea su R^n e la
disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Convergenza di successioni e funzioni
continue in spazi metrici. Spazi vettoriali. Prodotto scalare su R^n.
Norma su di uno spazio vettoriale. Spazi di Banach. Esempi. Funzioni
Lipschitziane. Il teorema delle contrazioni. Il teorema di Weierstrass. (Paragrafi
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22)
FUNZIONI REALI DI DUE O PIU’ VARIABILI REALI. Richiami di topologia in R^n. Limiti e continuità. I teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali. Derivate successive. Il teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Il teorema del differenziale. Il teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali. Derivata direzionale di una funzione differenziabile. Interpretazione geometrica del vettore gradiente. Forme quadratiche. Matrici quadrate definite, semidefinite e indefinite; il caso particolare delle matrici 2 x 2. Matrice Hessiana. Massimi e minimi relativi per le funzioni di n variabili: condizioni necessarie (del primo e del secondo ordine) e condizioni sufficienti (senza dimostrazione); condizioni sufficienti nel caso delle 2 variabili. Studi con determinante Hessiano nullo. (Paragrafi 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 36, 37)
Si fa riferimento ai numeri dei paragrafi del libro:
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore.
Firenze, 19 dicembre 2007