Università di Firenze
Facoltà
di Scienze MFN - Corso di laurea in Matematica
http://web.math.unifi.it/users/marcellini/
Analisi Matematica Due - A.A.
2009-2010
Orario delle lezioni e delle esercitazioni del corso di Analisi Matematica Due
Ora |
lunedì |
martedì |
mercoledì |
giovedì |
venerdì |
8.30 – 9.30 |
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9.30 – 10.30 |
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10.30 – 11.30 |
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Esercitazione Analisi Matematica Due |
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Lezione Analisi Matematica Due |
11.30 – 12.30 |
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Esercitazione Analisi Matematica Due |
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Lezione Analisi Matematica Due |
12.30 – 13.30 |
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Lezione Analisi Matematica Due |
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Le lezioni e le esercitazioni si terranno, con l’orario sopra indicato, nell’aula 1 del Dipartimento di Matematica, in Viale Morgagni 67/A. Inizio delle lezioni: settimana del 5 ottobre 2009.
Testi consigliati di teoria:
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi
Matematica Due, Liguori Editore.
E. Giusti, Analisi matematica 2,
Boringhieri.
Testi di esercizi:
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di
Matematica, Liguori Editore, Secondo Volume (parte prima
e parte seconda).
Il corso di Analisi Matematica Due è articolato in lezioni
(tenute dal Prof. Paolo
Marcellini) ed esercitazioni (tenute dal Dott. Emanuele Paolini). Il
ciclo di lezioni ed esercitazioni si terrà dal mese di ottobre 2009 al mese di
maggio 2010.
L'esame consiste in
una prova scritta ed una prova orale; tali prove si terranno in più
sessioni al termine del ciclo di lezioni ed esercitazioni, con inizio nel
maggio/giugno 2010 (le date precise delle sessioni di esame verranno comunicate
con congruo anticipo, secondo i criteri del Corso di Laurea in Matematica).
L'esame scritto consente l'ammissione alla prova orale se la votazione
riportata è maggiore o uguale a 14/30. Lo studente può sostenere la prova orale
nello stesso appello in cui ha superato lo scritto e, qualora non utilizzi tale
possibilità, anche nell’appello immediatamente successivo.
Durante il corso
sono previste tre prove scritte preliminari di verifica
dell'apprendimento. Se la votazione riportata in almeno due prove su tre
è sufficiente (voto 18/30 o superiore) lo studente è esonerato dal
sostenere l'esame scritto, che altrimenti è obbligatorio. In tal caso lo
studente è ammesso direttamente alla prova orale, con voto (dello scritto, base
per determinare il voto finale dopo la prova orale) calcolato come media dei
due voti migliori fra le tre prove preliminari.
Periodo previsto
per la prima prova scritta preliminare: fra dicembre 2009 e gennaio
2010; la seconda prova scritta preliminare si terrà presumibilmente alla
fine del mese di marzo o inizio aprile 2010; infine la terza prova scritta
preliminare si terrà nel mese di maggio. (Primi) esami alla fine del
corso di lezioni ed esercitazioni: due appelli, uno nel mese di giugno 2010 ed
un secondo nel mese di luglio. Si potrà organizzare un preappello orale
intorno alla seconda metà del mese di maggio 2010, riservato agli studenti che
avranno ottenuto l’esonero dal sostenere la prova scritta.
Il Programma
del Corso sarà di massima il seguente (il programma definitivo verrà
distribuito alla fine del corso di lezioni ed esercitazioni):
FUNZIONI REALI DI
DUE O PIU’ VARIABILI REALI. Richiami di topologia in R^n; in
particolare: intorni circolari, insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti;
disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; prodotto scalare e norma su R^n. Limiti e continuità. I teoremi sulle
funzioni continue. Derivate parziali. Derivate successive. Il teorema di
Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Il teorema del differenziale. Il teorema
di derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali. Derivata
direzionale di una funzione differenziabile. Interpretazione geometrica del
vettore gradiente. Caratterizzazione delle funzioni con gradiente nullo in un
aperto connesso di R^n. Formula di Taylor al secondo ordine con il resto
di Lagrange e con il resto di Peano. Forme quadratiche. Matrici quadrate
definite, semidefinite e indefinite. Massimi e minimi relativi per le funzioni
di n variabili: condizioni necessarie e condizioni sufficienti;
condizioni sufficienti nel caso delle 2
variabili. Funzioni a valori vettoriali. Funzioni convesse su R^n. Criteri
di convessità. Complementi alle forme quadratiche. (Paragrafi 25, 26, 27,
28, 29, 30, 31, 32, 35, 36, 37, 38, 39, 40)
FUNZIONI IMPLICITE.
Funzioni y = f(x) definite implicitamente da un’equazione del tipo F(x,y)
= 0. Il teorema del Dini per equazioni e per funzioni implicite di una
variabile. Il teorema del Dini per funzioni implicite di due o più variabili.
Il teorema del Dini per i sistemi. Invertibilità locale e globale. (Paragrafi
101, 102, 103)
SUCCESSIONI E SERIE
DI FUNZIONI. Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni.
Il teorema di continuità del limite. I teoremi di passaggio al limite sotto il
segno di integrale e di derivata. Successioni di Cauchy. Serie di funzioni.
Convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale di una serie di funzioni.
Criterio di convergenza di Cauchy per le serie (puntuale e uniforme). La
convergenza totale di una serie di funzioni implica la sua convergenza
uniforme. I teoremi di continuità della somma di una serie, di integrazione e
di derivazione per serie. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Raggio di
convergenza della serie derivata. Integrazione e derivazione di una serie di
potenze. Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor.
Sviluppi di alcune funzioni elementari. (Paragrafi 1, 2, 3, 5, 6, 7)
SPAZI METRICI E
SPAZI DI BANACH. Definizione di spazio metrico. La metrica euclidea su R^n
e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Successioni e funzioni continue in uno
spazio metrico. Spazi vettoriali. Prodotto scalare su R^n. Norma su di
uno spazio vettoriale. Spazi di Banach. Esempi. Funzioni Lipschitziane. Il
teorema delle contrazioni. Insiemi compatti. Teoremi sulle funzioni continue su
insiemi compatti (in particolare i teoremi di Weierstrass e di Cantor). Aperti
connessi su R^n. (Paragrafi 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22,
23)
EQUAZIONI
DIFFERENZIALI. Il problema di Cauchy . Il teorema di Cauchy di esistenza ed
unicità locale, o in piccolo,
per le equazioni (e per i sistemi di equazioni) differenziali non
lineari. Corollari al teorema di Cauchy. Il teorema di esistenza ed unicità
globale, o in grande. Prolungabilità delle soluzioni. Metodi di
risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo e del secondo
ordine (e di ordine superiore), sia in forma normale che in forma non normale ;
in particolare equazioni differenziali a variabili separabili, lineari, di
Bernoulli, omogenee, di Clairaut, esatte, ecc. Analisi qualitativa delle
soluzioni. Proprietà generali delle equazioni differenziali lineari di ordine n.
Rappresentazione dell’integrale generale di una equazione differenziale lineare
di ordine n: integrale generale dell’equazione omogenea e dell’equazione
non omogenea. Il metodo della variazione delle costanti. Equazioni
differenziali lineari a coefficienti costanti; il caso particolare delle
equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti; termini noti di
tipo particolare. (Paragrafi 42, 43,
44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56)
CURVE E INTEGRALI
CURVILINEI. Curve regolari. Curve orientate. Lunghezza di una curva. Il teorema
di rettificabilità delle curve di classe C^1.
Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Curvatura di una
curva piana. (Paragrafi 60, 61, 62, 63, 64)
FORME DIFFERENZIALI
LINEARI. Campi vettoriali. Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di
una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Forme
differenziali chiuse. Forme differenziali esatte nel piano. Aperti
semplicemente connessi in R^2. Forme
differenziali nello spazio tridimensionale. Campi irrotazionali. Aperti
semplicemente connessi e forme differenziali esatte in R^n. (Paragrafi
68, 69, 70, 71, 72, 73)
INTEGRALI DOPPI E
TRIPLI. INTEGRALI MULTIPLI. Domini normali in R^2. Partizioni. Somme integrali. Integrali doppi su domini normali.
Integrabilità delle funzioni continue su domini normali. Formule di riduzione
per gli integrali doppi. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza.
Formula di Stokes. Formule di integrazione per parti. Formula di cambiamento di
variabili negli integrali doppi. Coordinate polari. Integrali tripli. Calcolo
di aree e di volumi. Insiemi di R^n misurabili secondo Peano-Jordan.
Integrale di Riemann su R^n. Proprietà principali. (Paragrafi 74, 75,
76, 77, 78, 79, 80, 81)
SUPERFICI ED
INTEGRALI DI SUPERFICIE. Superfici regolari. Coordinate locali. Piano tangente.
Versore normale. Area di una superficie regolare. Superfici orientabili.
Integrali di superficie. La formula di Stokes in R^3. Il teorema della divergenza. (Paragrafi 94, 95, 96, 97, 98,
99, 100)