Università di Firenze - Facoltà di
Scienze MFN - Corso di Laurea in
Matematica
Programma
del corso di Analisi Matematica Due - A.A. 2009-2010
(Prof. Paolo Marcellini - http://math.unifi.it/~marcellini/)
FUNZIONI REALI DI DUE O PIU’
VARIABILI REALI. Richiami di topologia in R^n. Limiti e continuità. I
teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali. Derivate successive. Il
teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Il teorema del differenziale.
Il teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali.
Derivata direzionale di una funzione differenziabile. Interpretazione
geometrica del vettore gradiente. Formula di Taylor al secondo ordine con il
resto di Lagrange e con il resto di Peano. Forme quadratiche. Matrici quadrate
definite, semidefinite e indefinite; il caso particolare delle matrici 2 x 2.
Matrice Hessiana. Massimi e minimi relativi per le funzioni di n
variabili: condizioni necessarie (del primo e del secondo ordine) e condizioni
sufficienti; condizioni sufficienti nel caso delle 2 variabili. Studi
con determinante Hessiano nullo. (Paragrafi 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 35,
36, 37)
FUNZIONI IMPLICITE. Funzioni y = f(x) definite implicitamente da
un’equazione del tipo F(x,y) = 0. Il teorema del Dini per le equazioni:
esistenza, continuità e formula per la derivata della funzione implicita.
Equazione della retta tangente all’insieme di livello di una funzione F(x,y)
di due variabili. Studio degli insiemi di livello di una funzione di due
variabili. Il teorema del Dini per i sistemi (senza dimostrazione). Moltiplicatori di Lagrange. (Paragrafi
101, 102, 104)
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI.
Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni. Il teorema di
continuità del limite. I teoremi di passaggio al limite sotto il segno di
integrale e di derivata. Successioni di Cauchy. Serie di funzioni: convergenza
puntuale, assoluta, uniforme e totale. Criterio di convergenza di Cauchy per le
serie (puntuale e uniforme). La convergenza totale di una serie di funzioni
implica la sua convergenza uniforme. I teoremi di continuità della somma di una
serie, di integrazione e di derivazione per serie. Serie di potenze. Raggio di
convergenza. Raggio di convergenza della serie derivata (con dimostrazione
semplificata). Integrazione e derivazione di una serie di potenze. Serie di
Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi di alcune
funzioni elementari. (Paragrafi 1, 2, 3, 5, 6, 7)
SPAZI METRICI E SPAZI DI BANACH. Definizione
di spazio metrico. La metrica euclidea su R^n e la disuguaglianza di
Cauchy-Schwarz. Norma su di uno spazio vettoriale. Spazi metrici completi,
spazi di Banach. Esempi. Funzioni Lipschitziane. Il teorema delle contrazioni. (Paragrafi
13, 14, 18, 19, 20, 21, 22)
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Il problema di Cauchy. Il teorema di Cauchy di esistenza ed unicità locale, o in piccolo, per le equazioni (e per i sistemi di equazioni) differenziali non lineari. Corollari al teorema di Cauchy. Il teorema di esistenza ed unicità globale, o in grande. Metodi di risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine e di ordine superiore, sia in forma normale che in forma non normale; in particolare equazioni differenziali a variabili separabili, lineari, di Bernoulli, omogenee, di Clairaut, esatte, ecc. Analisi qualitativa delle soluzioni. Cenni sulle equazioni differenziali lineari di ordine n. (Paragrafi 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 54)
FORME DIFFERENZIALI LINEARI. Curve regolari e curve regolari a tratti. Campi vettoriali. Forme differenziali lineari in R^n. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare in R^n. Forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse in R^2. Forme differenziali chiuse in un rettangolo del piano. Esempi di forme chiuse ma non esatte. Aperti semplicemente connessi in R^2. Forme differenziali chiuse in un aperto semplicemente connesso. Calcolo di integrali curvilinei di forme differenziali lineari; ricerca di primitive. (Paragrafi 60, 68, 69, 70, 71, 76, 34)
INTEGRALI DOPPI. Domini normali in R^2. Partizioni. Somme integrali. Definizione di integrale doppio di una funzione limitata su di un dominio normale. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di Gauss-Green (dimostrazione semplificata). Teorema della divergenza, formula di Stokes. Formula di cambiamento di variabili (senza dimostrazione). Coordinate polari. Calcolo di aree e di volumi, esercizi. (Paragrafi 74, 75, 76, 77)
Si fa riferimento ai numeri dei
paragrafi del libro:
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica Due,
Liguori Editore.
Firenze, 7 maggio 2010