Università di Firenze
Facoltà
di Scienze MFN - Corso di laurea in Matematica
http://web.math.unifi.it/users/marcellini/
Analisi Matematica Due - A.A.
2011-2012
Orario delle lezioni e delle esercitazioni del corso di Analisi Matematica Due
Ora |
lunedì |
martedì |
mercoledì |
giovedì |
venerdì |
8.30 – 9.30 |
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9.30 – 10.30 |
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10.30 – 11.30 |
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Lezione Analisi Matematica Due |
Lezione Analisi Matematica Due |
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Lezione Analisi Matematica Due |
11.30 – 12.30 |
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Esercitazione Analisi Matematica Due |
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Esercitazione Analisi Matematica Due |
12.30 – 13.30 |
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Le lezioni e le esercitazioni si terranno, con l’orario sopra indicato, nell’aula 1 del Dipartimento di Matematica, in Viale Morgagni 67/A. Inizio delle lezioni: settimana del 3 ottobre 2011.
Testi consigliati di teoria:
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi
Matematica Due, Liguori Editore.
E. Giusti, Analisi matematica 2,
Boringhieri.
Testi di esercizi:
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica,
Liguori Editore, Secondo Volume (parte prima e parte seconda).
Il corso di Analisi Matematica Due è articolato in lezioni ed esercitazioni, tenute dal Prof. Paolo Marcellini. Il ciclo di lezioni ed esercitazioni si terrà dal mese di ottobre 2011 al mese di maggio 2012.
L'esame consiste in una prova scritta
ed una prova orale; tali prove si terranno in più appelli e
sessioni, al termine del ciclo di lezioni ed esercitazioni, con inizio nel maggio/giugno
2012 (le date precise delle sessioni di esame verranno comunicate con congruo
anticipo, secondo i criteri del Corso di Laurea in Matematica). L'esame scritto
consente l'ammissione alla prova orale se la votazione riportata è maggiore o
uguale a 14/30. Lo studente può sostenere la prova orale nello stesso appello
in cui ha superato lo scritto e, qualora non utilizzi tale possibilità, anche
nell’appello immediatamente successivo. (Primi) esami alla fine del
corso di lezioni ed esercitazioni: due appelli, uno a maggio/giugno 2012 ed un
secondo nel mese di luglio.
Il Programma del Corso sarà di massima il seguente (il programma
definitivo verrà distribuito alla fine del corso di lezioni ed esercitazioni):
FUNZIONI REALI DI DUE O PIU’ VARIABILI REALI. Richiami di topologia in
R^n; in particolare: intorni circolari, insiemi aperti, chiusi,
limitati, compatti; disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; prodotto scalare e norma
su R^n. Limiti e continuità. I
teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali. Derivate successive. Il
teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Il teorema del differenziale.
Il teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali.
Derivata direzionale di una funzione differenziabile. Interpretazione geometrica
del vettore gradiente. Caratterizzazione delle funzioni con gradiente nullo in
un aperto connesso di R^n. Formula di Taylor al secondo ordine con il
resto di Lagrange e con il resto di Peano. Forme quadratiche. Matrici quadrate
definite, semidefinite e indefinite. Massimi e minimi relativi per le funzioni
di n variabili: condizioni necessarie e condizioni sufficienti;
condizioni sufficienti nel caso delle 2
variabili. Funzioni a valori vettoriali. Funzioni convesse su R^n.
Criteri di convessità. Complementi alle forme quadratiche. (Paragrafi 25,
26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 35, 36, 37, 38, 39, 40)
FUNZIONI IMPLICITE. Funzioni y = f(x) definite implicitamente da
un’equazione del tipo F(x,y) = 0. Il teorema del Dini per equazioni e
per funzioni implicite di una variabile. Il teorema del Dini per funzioni
implicite di due o più variabili. Il teorema del Dini per i sistemi.
Invertibilità locale e globale. (Paragrafi 101, 102, 103)
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Convergenza puntuale ed uniforme di
una successione di funzioni. Il teorema di continuità del limite. I teoremi di
passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Successioni di
Cauchy. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale di
una serie di funzioni. Criterio di convergenza di Cauchy per le serie (puntuale
e uniforme). La convergenza totale di una serie di funzioni implica la sua
convergenza uniforme. I teoremi di continuità della somma di una serie, di
integrazione e di derivazione per serie. Serie di potenze. Raggio di
convergenza. Raggio di convergenza della serie derivata. Integrazione e
derivazione di una serie di potenze. Serie di Taylor. Criterio di
sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi di alcune funzioni elementari. (Paragrafi
1, 2, 3, 5, 6, 7)
SPAZI METRICI E SPAZI DI BANACH. Definizione di spazio metrico. La
metrica euclidea su R^n e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Successioni e funzioni continue in uno spazio metrico. Spazi vettoriali.
Prodotto scalare su R^n. Norma su di uno spazio vettoriale. Spazi di
Banach. Esempi. Funzioni Lipschtziane.
Caratterizzazione delle funzioni derivabili e Lipschtziane in un intervallo di
R. Il teorema
delle contrazioni. Insiemi compatti. Teoremi sulle funzioni continue su insiemi
compatti (in particolare i teoremi di Weierstrass e di Cantor). Aperti connessi
su R^n. (Paragrafi 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23)
EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Il problema di Cauchy . Il teorema di Cauchy
di esistenza ed unicità locale, o in piccolo, per le equazioni (e per i sistemi di equazioni) differenziali non
lineari. Corollari al teorema di Cauchy. Il teorema di esistenza ed unicità
globale, o in grande. Prolungabilità delle soluzioni. Metodi di
risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo e del secondo
ordine (e di ordine superiore), sia in forma normale che in forma non normale ;
in particolare equazioni differenziali a variabili separabili, lineari, di
Bernoulli, omogenee, di Clairaut, esatte, ecc. Analisi qualitativa delle
soluzioni. Proprietà generali delle equazioni differenziali lineari di ordine n.
Rappresentazione dell’integrale generale di una equazione differenziale lineare
di ordine n: integrale generale dell’equazione omogenea e dell’equazione
non omogenea. Il metodo della variazione delle costanti. Equazioni
differenziali lineari a coefficienti costanti; il caso particolare delle
equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti; termini noti di
tipo particolare. (Paragrafi 42, 43,
44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56)
CURVE E INTEGRALI CURVILINEI. Curve regolari. Curve orientate.
Lunghezza di una curva. Il teorema di rettificabilità delle curve di classe C^1. Ascissa curvilinea. Integrale
curvilineo di una funzione. Curvatura di una curva piana. (Paragrafi 60, 61,
62, 63, 64)
FORME DIFFERENZIALI LINEARI. Campi vettoriali. Forme differenziali
lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme
differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Forme differenziali esatte
nel piano. Aperti semplicemente connessi in R^2. Forme differenziali nello spazio tridimensionale. Campi
irrotazionali. Aperti semplicemente connessi e forme differenziali esatte in R^n.
(Paragrafi 68, 69, 70, 71, 72, 73)
INTEGRALI DOPPI E TRIPLI. INTEGRALI MULTIPLI. Domini normali in R^2. Partizioni. Somme integrali.
Integrali doppi su domini normali. Integrabilità delle funzioni continue su
domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di
Gauss-Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule di integrazione
per parti. Formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi.
Coordinate polari. Integrali tripli. Calcolo di aree e di volumi. Insiemi di R^n
misurabili secondo Peano-Jordan. Integrale di Riemann su R^n. Proprietà
principali. (Paragrafi 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81)
SUPERFICI ED INTEGRALI DI SUPERFICIE. Superfici regolari. Coordinate
locali. Piano tangente. Versore normale. Area di una superficie regolare.
Superfici orientabili. Integrali di superficie. La formula di Stokes in R^3. Il teorema della divergenza. (Paragrafi
94, 95, 96, 97, 98, 99, 100)
Firenze,
18 settembre 2011