Università di Firenze - Facoltà di Scienze MFN
Corso di Laurea in Matematica
Programma del
corso di Analisi Matematica Due - A.A. 2011-2012
(Prof. Paolo Marcellini - http://math.unifi.it/~marcellini/)
FUNZIONI
REALI DI DUE O PIU’ VARIABILI REALI. Richiami di topologia in R^n; in
particolare: intorni circolari, insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti;
disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; prodotto scalare e norma su R^n. Limiti e continuità. I teoremi sulle
funzioni continue. Derivate parziali. Derivate successive. Il teorema di
Schwarz sulle derivate seconde miste. Gradiente. Differenziabilità. Il teorema
del differenziale. Il teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate
direzionali. Derivata direzionale di una funzione differenziabile.
Interpretazione geometrica del vettore gradiente. Formula di Taylor al secondo
ordine con il resto di Lagrange e con il resto di Peano. Forme quadratiche.
Matrici quadrate definite, semidefinite e indefinite; il caso particolare delle
matrici 2 x 2. Matrice Hessiana. Massimi e minimi relativi per le
funzioni di n variabili: condizioni necessarie (del primo e del secondo
ordine) e condizioni sufficienti; condizioni sufficienti nel caso delle 2
variabili. Studi con determinante Hessiano nullo. (Paragrafi 25, 26, 27, 28,
29, 30, 31, 35, 36, 37)
FUNZIONI IMPLICITE. Funzioni y = f(x)
definite implicitamente da un’equazione del tipo F(x,y) = 0. Il teorema
del Dini per le equazioni: esistenza, continuità e formula per la derivata
della funzione implicita. Equazione della retta tangente all’insieme di livello
di una funzione F(x,y) di due variabili. Studio degli insiemi di livello
di una funzione di due variabili. Il teorema del Dini per i sistemi (senza dimostrazione). (Paragrafi
101, 102)
SUCCESSIONI
E SERIE DI FUNZIONI. Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di
funzioni. Il teorema di continuità del limite. I teoremi di passaggio al limite
sotto il segno di integrale e di derivata. Successioni di Cauchy. Serie di
funzioni: convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale. Criterio di
convergenza di Cauchy per le serie (puntuale e uniforme). La convergenza totale
di una serie di funzioni implica la sua convergenza uniforme. I teoremi di
continuità della somma di una serie, di integrazione e di derivazione per
serie. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Raggio di convergenza della
serie derivata (con dimostrazione semplificata). Integrazione e
derivazione di una serie di potenze. Serie di Taylor. Criterio di
sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi di alcune funzioni elementari. (Paragrafi
1, 2, 3, 5, 6, 7)
SPAZI
METRICI E SPAZI DI BANACH. Definizione di spazio metrico. La metrica euclidea
su R^n e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norma su di uno spazio
vettoriale. Successioni di Cauchy; criterio di convergenza di Cauchy per le
successioni di numeri reali (complemento al programma di Analisi Matematica
Uno). Spazi metrici completi. Completezza dell'insieme dei numeri
reali come spazio metrico. Altri esempi
(spazi C^0, C^1, C^k). Funzioni
Lipschitziane su di uno spazio metrico. Caratterizzazione delle funzioni
derivabili e Lipschtziane in un intervallo di R. Il teorema delle contrazioni. (Paragrafi
13, 14, 18, 19, 20, 21; paragrafi 35 e 85 di Analisi Matematica Uno)
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Il problema di
Cauchy. Il teorema di Cauchy di esistenza ed unicità locale, o in piccolo,
per le equazioni (e per i sistemi di equazioni) differenziali non lineari.
Corollari al teorema di Cauchy. Il teorema di esistenza ed unicità globale, o in
grande. Metodi di risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del
primo ordine e di ordine superiore, sia in forma normale che in forma non
normale; in particolare equazioni differenziali a variabili separabili,
lineari, di Bernoulli, omogenee, di Clairaut, ecc. Analisi qualitativa delle
soluzioni. Cenni sulle equazioni differenziali lineari di ordine n. (Paragrafi
42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51)
CURVE IN R^n. Curve regolari e curve regolari a tratti. Curve orientate. Lunghezza di una curva. Il teorema di rettificabilità delle curve di classe C^1. Ascissa curvilinea. (Paragrafi 60, 61, 62)
FORME DIFFERENZIALI LINEARI. Campi vettoriali. Forme differenziali lineari in R^n. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte in R^n. Forme differenziali chiuse. Le forme differenziali esatte sono anche chiuse. Forme differenziali chiuse in un rettangolo del piano. Esempi di forme chiuse ma non esatte in un aperto di R^2. Aperti semplicemente connessi in R^2. Omotopie. Aperti semplicemente connessi in R^n. Forme differenziali chiuse in un aperto semplicemente connesso di R^2. Forme differenziali nello spazio tridimensionale. Campi irrotazionali. Calcolo di integrali curvilinei di forme differenziali lineari; ricerca di primitive. (Paragrafi 68, 69, 70, 71, 72, 73, 76)
INTEGRALI DOPPI. INTEGRALI TRIPLI E MULTIPLI. Domini normali in R^2. Partizioni. Somme integrali. Definizione di integrale doppio di una funzione limitata su di un dominio normale. Integrabilità delle funzioni continue su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di Gauss-Green (con dimostrazione semplificata). Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule di integrazione per parti. Formula di cambiamento di variabili (senza dimostrazione). Coordinate polari. Calcolo di aree e di volumi, esercizi. Integrali tripli e integrali su R^n. Formule di riduzione e formula di cambiamento di variabili (senza dimostrazione). Calcolo della misura della sfera n-dimensionale. (Paragrafi 74, 75, 76, 77, 78, 91 teorema sulle sezioni: formula (91.32), 92 sfera n-dimensionale: esempio 10)
Si fa riferimento ai numeri dei
paragrafi del libro:
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica Due,
Liguori Editore.
Firenze, 15 aprile 2012