Università di Firenze
Corso
di laurea in Matematica
http://web.math.unifi.it/users/marcellini/
Analisi Matematica Due - A.A.
2017-2018
Prof.
Luigi De Pascale e Prof. Paolo Marcellini
Orario delle lezioni e delle esercitazioni del corso di Analisi Matematica Due
Ora |
lunedì |
martedì |
mercoledì |
giovedì |
venerdì |
8.30 – 9.30 |
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9.30 – 10.30 |
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10.30 – 11.30 |
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Lezione Analisi Matematica Due |
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11.30 – 12.30 |
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Esercitazione Analisi Matematica Due |
Lezione Analisi Matematica Due |
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Lezione Analisi Matematica Due |
12.30 – 13.30 |
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Esercitazione Analisi Matematica Due |
Le lezioni e le esercitazioni saranno tenute dai Prof. Luigi De Pascale e Prof. Paolo Marcellini, con l’orario sopra indicato (l'orario completo del secondo anno è visibile a questo link), nell’aula 2 del Dipartimento di Matematica e Informatica, in Viale Morgagni 67/A. Inizio delle lezioni: settimana del 25 settembre 2017.
Testi consigliati di teoria:
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi
Matematica Due, Liguori Editore.
E. Giusti, Analisi matematica 2,
Boringhieri.
Testi di esercizi:
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di
Matematica, Liguori Editore, Secondo Volume (parte prima
e parte seconda).
Il corso di Analisi Matematica Due è articolato in lezioni ed esercitazioni. Il ciclo di lezioni ed esercitazioni si terrà dal mese di settembre 2017 al mese di maggio 2018; precisamente dal 25 settembre 2017 al 22 dicembre 2017 e - dopo l'interruzione per il periodo Natalizio - dal 5 febbraio 2018 all'11 maggio 2018.
L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale; tali prove si terranno in più appelli e sessioni, al termine del ciclo di lezioni ed esercitazioni, con inizio nel mese di maggio 2018 (le date precise delle sessioni di esame verranno comunicate con congruo anticipo, secondo i criteri del Corso di Laurea in Matematica). E' prevista l'iscrizione on line, con le modalità fissate dall'Ateneo (in genere l'iscrizione si apre on line nel sito web dell'Ateneo un paio di settimane prima della data di apertura dell'appello) per tutti gli esami del Corso di Laurea in Matematica. L'esame scritto consente l'ammissione alla prova orale se la votazione riportata è maggiore o uguale a 14/30. Lo studente può sostenere la prova orale nello stesso appello in cui ha superato lo scritto e, qualora non utilizzi tale possibilità, anche nell’appello immediatamente successivo.
Il Programma del Corso sarà di massima il seguente (il programma definitivo
verrà distribuito alla fine del corso di lezioni ed esercitazioni):
FUNZIONI REALI DI DUE O PIU’ VARIABILI REALI. Richiami di topologia in
R^n; in particolare: intorni circolari, insiemi aperti, chiusi,
limitati, compatti; disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; prodotto scalare e norma
su R^n. Limiti e continuità. I
teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali. Derivate successive. Il
teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Il teorema del differenziale.
Il teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali.
Derivata direzionale di una funzione differenziabile. Interpretazione
geometrica del vettore gradiente. Caratterizzazione delle funzioni con
gradiente nullo in un aperto connesso di R^n. Formula di Taylor al
secondo ordine con il resto di Lagrange e con il resto di Peano. Forme
quadratiche. Matrici quadrate definite, semidefinite e indefinite. Massimi e
minimi relativi per le funzioni di n variabili: condizioni necessarie e
condizioni sufficienti; condizioni sufficienti nel caso delle 2 variabili. Funzioni a valori
vettoriali. Funzioni convesse su R^n. Criteri di convessità. Complementi
alle forme quadratiche. (Paragrafi 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 35, 36,
37, 38, 39, 40)
SERIE NUMERICHE (complemento al programma di Analisi Matematica Uno). Serie numeriche convergenti, divergenti,
indeterminate. Carattere delle serie a termini non negativi. La serie
geometrica. La serie armonica e la serie armonica generalizzata. Criteri di
convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto, degli
infinitesimi, del rapporto, della radice. Criterio di convergenza per le serie
alternate. Convergenza assoluta. Serie di Taylor. Il paradosso di Zenone. (Paragrafi
104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 112, 114 di
Analisi Matematica Uno)
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Convergenza puntuale ed uniforme di
una successione di funzioni. Il teorema di continuità del limite. I teoremi di
passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Successioni di
Cauchy. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale di
una serie di funzioni. Criterio di convergenza di Cauchy per le serie (puntuale
e uniforme). La convergenza totale di una serie di funzioni implica la sua
convergenza uniforme. I teoremi di continuità della somma di una serie, di
integrazione e di derivazione per serie. Serie di potenze. Raggio di
convergenza. Raggio di convergenza della serie derivata. Integrazione e
derivazione di una serie di potenze. Criterio di sviluppabilità in serie di
Taylor. Sviluppi di alcune funzioni elementari. (Paragrafi 1, 2, 3, 5, 6, 7)
SPAZI
METRICI E SPAZI DI BANACH. Definizione di spazio metrico. La metrica euclidea
su R^n e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norma su di uno
spazio vettoriale. Successioni di Cauchy; criterio di convergenza di Cauchy per
le successioni di numeri reali (complemento al programma di Analisi
Matematica Uno). Spazi metrici completi. Spazi di Banach. Completezza
dell'insieme dei numeri reali come spazio metrico. Altri esempi (spazi C^0, C^1, C^k).
Funzioni Lipschitziane su di uno spazio metrico. Caratterizzazione delle
funzioni derivabili e Lipschtziane in un intervallo di R. Contrazioni. Il
teorema delle contrazioni. Insiemi compatti. Teoremi sulle funzioni continue su
insiemi compatti (in particolare i teoremi di Weierstrass e di Cantor). Aperti
connessi su R^n. (Paragrafi
13, 14, 18, 19, 20, 21, 22, 23;
paragrafi 35 e 85 di Analisi Matematica Uno)
EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Il problema di Cauchy . Il teorema di Cauchy
di esistenza ed unicità locale, o in piccolo, per le equazioni (e per i
sistemi di equazioni) differenziali non lineari. Corollari al teorema di
Cauchy. Il teorema di esistenza ed unicità globale, o in grande.
Prolungabilità delle soluzioni. Metodi di risoluzione di alcuni tipi di
equazioni differenziali del primo e del secondo ordine (e di ordine superiore),
sia in forma normale che in forma non normale ; in particolare equazioni
differenziali a variabili separabili, lineari, di Bernoulli, omogenee, di
Clairaut, esatte, ecc. Analisi qualitativa delle soluzioni. Proprietà generali
delle equazioni differenziali lineari di ordine n. Rappresentazione
dell’integrale generale di una equazione differenziale lineare di ordine n:
integrale generale dell’equazione omogenea e dell’equazione non omogenea. Il
metodo della variazione delle costanti. Equazioni differenziali lineari a
coefficienti costanti; il caso particolare delle equazioni lineari del secondo
ordine a coefficienti costanti; termini noti di tipo particolare. (Paragrafi 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48,
49, 51, 52, 53, 54, 55, 56)
COMPATTEZZA SU SPAZI DI FUNZIONI. Il teorema di Ascoli-Arzelà.
Applicazione al teorema di Peano di esistenza locale, o in piccolo, per
le equazioni (e per i sistemi di equazioni) differenziali non lineari. Esempi
di non unicità. (Paragrafi 10,50)
CURVE E INTEGRALI CURVILINEI. Curve regolari. Curve orientate.
Lunghezza di una curva. Il teorema di rettificabilità delle curve di classe C^1. Ascissa curvilinea. Integrale
curvilineo di una funzione. Curvatura di una curva piana. (Paragrafi 60, 61,
62, 63, 64)
FORME DIFFERENZIALI LINEARI. Campi vettoriali. Forme differenziali
lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme
differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Forme differenziali esatte
nel piano. Aperti semplicemente connessi in R^2. Forme differenziali nello spazio tridimensionale. Campi
irrotazionali. Aperti semplicemente connessi e forme differenziali esatte in R^n.
(Paragrafi 68, 69, 70, 71, 72, 73)
INTEGRALI DOPPI E TRIPLI. INTEGRALI MULTIPLI. Domini normali in R^2. Partizioni. Somme integrali.
Integrali doppi su domini normali. Integrabilità delle funzioni continue su
domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di
Gauss-Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule di
integrazione per parti. Formula di cambiamento di variabili negli integrali
doppi. Coordinate polari. Integrali tripli. Calcolo di aree e di volumi.
Insiemi di R^n misurabili secondo Peano-Jordan. Integrale di Riemann su
R^n. Proprietà principali. (Paragrafi 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81)
SUPERFICI ED INTEGRALI DI SUPERFICIE. Superfici regolari. Coordinate
locali. Piano tangente. Versore normale. Area di una superficie regolare.
Superfici orientabili. Integrali di superficie. La formula di Stokes in R^3. Il teorema della divergenza. (Paragrafi
94, 95, 96, 97, 98, 99, 100)
FUNZIONI IMPLICITE. Funzioni y = f(x) definite implicitamente da
un’equazione del tipo F(x,y) = 0. Il teorema del Dini per equazioni e
per funzioni implicite di una variabile. Il teorema del Dini per funzioni
implicite di due o più variabili. Il teorema del Dini per i sistemi.
Invertibilità locale e globale. (Paragrafi 101, 102, 103)
Firenze,
15 settembre 2017 torna alla home page