Università di
Firenze - Dipartimento di Matematica e
Informatica "U. Dini"
Facoltà/Scuola di Scienze MFN -
Corso di laurea in Matematica
Prof. Luigi De
Pascale e Prof. Paolo Marcellini
FUNZIONI REALI DI DUE O PIU’ VARIABILI REALI. Richiami di topologia in R^n; in particolare: intorni circolari, insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti; disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; prodotto scalare e norma su R^n. Definizione di limite di una funzione da R^n in R^m. Limiti e continuità. I teoremi sulle funzioni continue. Derivate parziali. Gradiente. Derivate successive. Il teorema di Schwarz sulle derivate seconde miste. Differenziabilità. Il teorema del differenziale. Il teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali. Derivata direzionale di una funzione differenziabile. Interpretazione geometrica del vettore gradiente. Formula di Taylor al secondo ordine con il resto di Lagrange e con il resto di Peano. Forme quadratiche. Matrici quadrate definite, semidefinite e indefinite; il caso particolare delle matrici 2 x 2. Matrice Hessiana delle derivate seconde. Massimi e minimi relativi per le funzioni di n variabili: condizioni necessarie (del primo e del secondo ordine) e condizioni sufficienti; condizioni sufficienti nel caso delle 2 variabili. Studi con determinante Hessiano nullo. (Paragrafi 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 35, 36, 37)
SERIE NUMERICHE (complemento al programma di Analisi Matematica Uno). Serie
numeriche convergenti, divergenti, indeterminate. Carattere delle serie a
termini non negativi. La serie geometrica. La serie armonica e la serie
armonica generalizzata. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi:
criterio del confronto, degli infinitesimi, del rapporto, della radice.
Criterio di convergenza per le serie alternate. Convergenza assoluta. (Paragrafi
104, 105, 106, 107, 108, 109, 110 di Analisi Matematica Uno)
SUCCESSIONI
E SERIE DI FUNZIONI. Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di
funzioni. Il teorema di continuità del limite. Il teorema di passaggio al
limite sotto il segno di integrale. Successioni di Cauchy. Serie di funzioni:
convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale. Criterio di convergenza di
Cauchy per le serie (puntuale e uniforme). La convergenza totale di una serie
di funzioni implica la sua convergenza uniforme. I teoremi di continuità della
somma di una serie, di integrazione e di derivazione per serie. Serie di
potenze. Raggio di convergenza. Integrazione e derivazione di una serie di
potenze (con dimostrazione semplificata). Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor.
Sviluppi di alcune funzioni elementari. (Paragrafi 1, 2, 3, 5, 6, 7)
SPAZI
METRICI E SPAZI DI BANACH. Definizione di spazio metrico. La metrica euclidea
su R^n e la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norma su di uno spazio
vettoriale. Successioni di Cauchy; criterio di convergenza di Cauchy per le
successioni di numeri reali (complemento al programma di Analisi Matematica
Uno). Spazi metrici completi. Spazi di Banach. Completezza
dell'insieme dei numeri reali come spazio metrico. Altri esempi (spazi C^0, C^1, C^k). Funzioni Lipschitziane su di uno
spazio metrico. Caratterizzazione delle funzioni derivabili e Lipschtziane in
un intervallo di R. Contrazioni. Il teorema delle contrazioni. (Paragrafi
13, 14, 18, 19, 20, 21; paragrafi 35 e 85 di Analisi Matematica Uno)
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Il
problema di Cauchy. Il teorema di Cauchy di esistenza ed unicità locale, o in
piccolo, per le equazioni (e per i sistemi di equazioni)
differenziali non lineari. Formulazione integrale equivalente. Utilizzazione
degli spazi funzionali, del teorema delle contrazioni. Corollari al
teorema di Cauchy. Il teorema di esistenza ed unicità globale, o in grande.
Prolungabilità delle soluzioni. Metodi
di risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine e di
ordine superiore, sia in forma normale che in forma non normale; in particolare
equazioni differenziali a variabili separabili, lineari, di Bernoulli,
omogenee, equazioni di Clairaut, ecc. Metodi di risoluzione di alcuni tipi di
equazioni differenziali del secondo ordine: equazioni del tipo F(x,y',y")=0
e del tipo F(y,y',y")=0. Analisi qualitativa delle soluzioni.
Proprietà generali delle equazioni differenziali lineari di ordine n. Il
determinante Wronskiano e alcune sue proprietà. Rappresentazione dell’integrale
generale di una equazione differenziale lineare di ordine n: integrale
generale dell’equazione omogenea e dell’equazione non omogenea. Il metodo della
variazione delle costanti. Equazioni differenziali lineari a coefficienti
costanti. (Paragrafi 42, 43, 44, 45,
46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56)
CURVE IN R^n. Curve in R^n: curve regolari e curve regolari a tratti, curve orientate, equazione della retta tangente. Definizione della lunghezza di una curva in R^n. Teorema di rettificabilità: lunghezza di una curva di classe C^1. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Interpretazioni geometrica, fisica, analitica. (Paragrafi 60, 61, 62, 63)
FORME DIFFERENZIALI LINEARI. Campi vettoriali.
Forme differenziali lineari in R^n. Integrale curvilineo di una forma
differenziale. Forme differenziali esatte. Primitive. Caratterizzazione delle
forme differenziali esatte in R^n. Forme differenziali chiuse. Le forme
differenziali esatte sono anche chiuse. Forme differenziali chiuse in un
rettangolo del piano. Esempi di forme chiuse ma non esatte in un aperto di R^2.
Aperti semplicemente connessi in R^2. Forme differenziali chiuse in un
aperto semplicemente connesso di R^2. Forme differenziali nello spazio
tridimensionale. Campi irrotazionali. Aperti semplicemente connessi e forme
differenziali esatte in R^n. Quoziente dello spazio delle forme
differenziali chiuse rispetto allo spazio delle forme differenziali esatte in
R^n privato di uno o più punti. Calcolo di integrali curvilinei di forme
differenziali lineari; ricerca di primitive. (Paragrafi 68, 69, 70, 71, 72,73)
INTEGRALI DOPPI. INTEGRALI TRIPLI E MULTIPLI. Domini normali in R^2.
Partizioni. Somme integrali. Definizione di integrale doppio di una funzione
limitata su di un dominio normale. Integrabilità delle funzioni continue.
Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di Gauss-Green. Teorema
della divergenza. Formula di Stokes. Formule di integrazione per parti. Formula
di cambiamento di variabili (senza dimostrazione). Coordinate polari.
Calcolo di aree e di volumi. Esercizi sull'uso delle formule di Gauss-Green e
calcolo di integrali doppi. Integrali tripli e integrali su R^n. Formule
di riduzione e formula di cambiamento di variabili (dimostrazione
semplificata in 2 dimensioni). Insiemi di R^n misurabili secondo Peano-Jordan. Integrale di Riemann
su R^n. Proprietà
principali. (Paragrafi 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81)
SUPERFICI ED INTEGRALI DI SUPERFICIE. Superfici regolari. Coordinate locali. Piano tangente. Versore normale. Prima forma fondamentale e sue espressioni. Area di una superficie regolare. Integrali di superficie (solo formula per analogia con gli integrali sulle curve). (Paragrafi 94, 95, 96, 97, 99)
FUNZIONI IMPLICITE. Funzioni y = f(x) definite implicitamente da un’equazione del tipo F(x,y) = 0. Il teorema del Dini per le equazioni: esistenza, continuità e formula per la derivata della funzione implicita. Equazione della retta tangente all’insieme di livello di una funzione F(x,y) di due variabili. Massimi e minimi relativi della funzione implicita. Il teorema del Dini per un'equazione definita da una funzione di più variabili. Il teorema del Dini per i sistemi, invertibilità locale e globale. Massimi e minimi vincolati: il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. (Paragrafi 101, 102, 103, 104)
Si fa riferimento ai numeri dei
paragrafi del libro:
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica Due,
Liguori Editore.
Firenze, 10 maggio 2018