DAI NUMERI DI FIBONACCI AL NUMERO D’ORO

Un problema di accrescimento delle popolazioni,forse il primo della storia della matematica,è nel Liber Abaci(Pisa,1202) di Leonardo Fibonacci; vi si legge la successione numerica(che ormai da un paio di secoli  è detta “del Fibonacci”,ed i cui elementi vengono chiamati “numeri del Fibonacci”):

1  ,  1  ,2  ,  3  ,  5  ,  8  , 13  ,………,  f_n  ,…..     .

Essa indica quanti conigli si hanno da una coppia iniziale al trascorrere dei mesi,sapendo che gli animali debbono aver compiuto due mesi di vita per generare,che la gestazione dura un mese, e supponendo che ad ogni parto nascano un maschio ed una femmina.

Probabilmente Fibonacci stesso si era  reso conto della legge di formazione della successione: ogni elemento è dato dalla somma dei due che lo precedono: f _n =f _n-1  + f _n-2  , con le condizioni iniziali f₁=f₂=1, n³3  .

Keplero evidenziò esplicitamente tale definizione per ricorrenza e giunse a due osservazioni molto interessanti: esaminando il rapporto f_n/f_n-1, per primo si accorse che ,alternativamente, esso risulta minore, e poi maggiore, del numero d’oro; notò inoltre che al crescere di n, la differenza tra f_n/f_n-1 e t diviene sempre più piccola.               

Circa cent’anni dopo, lo scozzese Robert Simson (1687-1768) riconobbe che t si può scrivere sotto forma di frazione continua

                                  1        

t   =  1  +     ----------------------------------

                                              1

                   1  +    -------------------------

                                               1

                                   1 +   --------------

                                                 1                        

                                          1+  ----------

                                                      …….

le cui ridotte sono 1 , 2/1 , 3/2 , 5/3,…..,cioè proprio f_n/f_n-1.

Quasi contemporaneamente (1718) un francese, fuggito in Inghilterra per motivi politici, Abraham De Moivre (1667-1754), aveva trovato un ulteriore legame tra il numero d’oro e i numeri di Fibonacci :  f_n =[tⁿ-(-1/t)ⁿ].Ö5/5.

Il numero d’oro è dunque variamente collegato alle innumerevoli proprietà dei numeri di Fibonacci; il loro studio, e quello di certe successioni numeriche da essi ispirate procede senza soluzione di continuità.Dal 1967 esce negli USA,con cadenza trimestrale, la rivista “ Fibonacci Quarterly”,che informa su ogni genere di ricerca sull’argomento.