GLI “EFFETTI” DELLA DIVINA PROPORZIONE SECONDO L.PACIOLI

 

 

Pacioli si riferisce alla sezione aurea con sempre maggiore entusiasmo e ne descrive le proprietà riconosciute da “il nostro philosopho Euclide”,cui rimanda per le dimostrazioni geometriche di carattere generale;egli si occupa di tredici effetti pur sapendo che ne sussistono altri(cap.XXIII),e privilegia questo numero poiché tredici erano i convitati  all’Ultima Cena.

Per illustrare i 13 effetti Pacioli ricorre a verifiche numeriche,a partire da un segmento di lunghezza 10.
Nell’effetto  “primo” cap.X;Euclide ,XIII-1] si afferma che,diviso il segmento secondo la “proporzione”, se alla parte maggiore si aggiunge la metà dell’intero segmento, il quadrato di tale somma è quintuplo rispetto al quadrato della suddetta metà. In simboli attuali: (s+a/2)2 =5(a/2)2 .

Il secondo “essentiale” effetto[cap. XI;E.XIII,2] è il “converso” del primo.

Il terzo “singolare” effetto[cap.XII;E.XIII,3] presenta una forma analoga a quella del primo:

(a-s/2)2 =5(s/2)2 .


Fra’ Luca  chiama “ineffabile” il quarto effetto [cap, XIII;Euclide XIII-5],già ricordato per il suo  presunto significato in ottica religiosa,che riguarda il riproporsi della sezione aurea con un procedimento iterativo che non ha mai termine. Prolungando AB,di cui AH è la parte aurea,di un segmento  BM=AH, il nuovo segmento AM ha AB come parte aurea.

Nel quinto “mirabil” effetto [cap.XIV;;E.XIII,4]si considera il fatto che sommando il quadrato della parte minore del segmento con qella del segmento intero si ottiene il “ triplo del quadrato della maggior parte“:  (a-s)2+a2=3s2 .

La irrazionalità dei rapporti AB/AH ed AH/HB è rilevata nel “sesto innominabil effetto” [cap,XV;E:XIII-6],anch’esso interpretato in ottica “divina”.

Gli effetti settimo e ottavo [capp. XVI e XVII;E.XIII-9],l’uno “inestimabil” e l’altro “converso”del precedente,considerano l’esagono e il decagono inscritti nel medesimo cerchio: il segmento ottenuto sommando i due rispettivi lati,ha come sezione aurea il lato dell’esagono.

Supera tutti gli altri per importanza(sopra gli altri excessivo”,secondo Pacioli) il nono effetto[cap.XVIII;E.II-11,VI-29-XIII,8,11].Esso riguarda il pentagono regolare e le sue diagonali:”..e per questo tale effecto possiamo per la notitia del lato pervenire alla notitia di tutte le sue corde e di tutte le lor parti.E così per lo adverso”(v. Pitagorici e la sezione).

Addirittura “supremo” è il decimo effetto,[cap.XVIIII,E(?) XIV-2] che riconosce come tutte le proprietà della divina proporzione siano indipendenti dalla lunghezza del segmento dato; ed allora, oltre al consueto segmento lungo “10”, ne viene considerato un altro lungo “12”.

Nell’undicesimo effetto, excellentisimo”,[cap.XX; E (?) XIV, 3] si verifica,in numeri, che il lato del decagono regolare è la sezione aurea di quello dell’esagono regolare inscritto nel medesimo cerchio:ciò equivale ad affermare che il lato del decagono regolare è la parte aurea del raggio del cerchio in cui è inscritto.Possiamo osservare che il settimo effetto è una conseguenza degli effetti undicesimo e quarto.

Il dodicesimo “quasi incomprehensibile” effetto [cap. XXI; E(?) XIV, 9] tratta della relazione tra il diametro (a) di una sfera ,la sua sezione aurea (s),e gli spigoli del cubo e dell’icosaedro inscritti in tale sfera :              [a2+s2] : [a2+(a-s)2] = spigolo cubo : spigolo icosaedro.

Nel tredicesimo “dignissimo” effetto [cap. XXII], Pacioli evidenzia che non si può costruire il dodecaedro regolare senza saper disegnare le sue facce pentagonali e nel pentagono interviene la divina proporzione