Le spirali equiangolari

Nello studio delle forme organiche troviamo molti esempi di forme a spirale che si prestano ad uno "studio matematico".

Nell’accrescimento di una conchiglia, l'allargamento e l'allungamento devono avvenire secondo una proporzione invariata : è questa semplice legge che la natura tende a seguire.

La conchiglia cresce in grandezza ma non cambia in forma; questa costante relatività di accrescimento, o costante similitudine di forma è essenziale e può essere presa come base della definizione di spirale equiangolare.

La proprietà fondamentale della curva è la similitudine continua .

NAUTILUS

Non vi è un’unica legge di accrescimento, anche se vi può essere una sola legge matematica, che governa la formazione delle conchiglie.

Nella maggioranza dei casi in queste strutture coesistono parti nuove e parti vecchie: esse si sono formate per un continuo e successivo incremento cosicché la parte più antica rimane come una parte immutata della struttura che si accresce.

Molte strutture che hanno una disposizione a spirale logaritmica sono il prodotto di un accumulo più che di un accrescimento.

La spirale logaritmica caratteristica dei tessuti morti è accompagnata spesso da disegni che indicano le linee di accrescimento, tracce permanenti delle successive fasi di forma e grandezza.

ASTRAEA

CLANCULUS

GIBBULARARILINEATA

Nelle spirali equiangolari  del Nautilus, delle chiocciole o di una Globigerina, le volute aumentano continuamente di ampiezza secondo un definito rapporto fisso.

Possiamo vedere la spirale equiangolare come un “cono avvolto” su se stesso.

La caratteristica peculiare delle conchiglie a spirale è che non alterano la loro forma mentre crescono. Ogni incremento   è simile al precedente ed ogni ciclo di accrescimento rimane della forma primitiva.

Questa singolare proprietà fu studiata sin dall’antichità. Aristotele osservò come “alcune cose, quando crescono, non si modificano, salvo che per la loro dimensione”.

Così accade quando ad un quadrato aggiungiamo un’area a forma di L; otterremo ancora un quadrato. La porzione che abbiamo aggiunto è detta, in greco, gnomone.

Più in generale Erone di Alessandria definì lo gnomone come “qualsiasi figura che aggiunta ad un’altra qualsiasi figura conservasse la similitudine tra la figura risultante e quella originaria”.

 La conchiglia mantiene immutata la sua forma malgrado il suo accrescimento asimmetrico; essa cioè cresce solo ad una estremità.

Possiamo concludere dicendo che :

1)     se una struttura di accrescimento è costituita di parti successive, simili in forma ed ingrandite in progressione geometrica, situate in modo simile rispetto al centro di similitudine, possiamo sempre tracciare per punti corrispondenti una spirale equiangolare; per particolari progressioni si ottengono spirali auree.

2)     è caratteristico dell’accrescimento delle corna, delle conchiglie e di altre forme organiche in cui è possibile riconoscere una spirale equiangolare, che ogni successivo incremento di accrescimento  è simile, similmente ingrandito e similmente situato rispetto al precedente ed è di conseguenza gnomone dell’intera struttura preesistente.

(da “Crescita e forma” di D’Arcy W. Thompson)