Metodi Matematici 2004-2005 - Registro delle lezioni

Martedi 3 Maggio Analisi Complessa Aritmetica complessa: introduzione storica, prime definizioni, operazioni di somma e prodotto di numeri complessi, coniugato e modulo di un numero complesso e relative proprietà. Quoziente di numeri complessi. Rappresentazione polare, argomento di un numero complesso; potenze e radici di un numero complesso. Estensione al campo complesso delle principali funzioni trascendenti reali. Definizione di esponenziale complessa, funzioni trigonometriche complesse. Mercoledi 4 Maggio Proprietà di esponenziale e funzioni trigonometriche complesse. Loro relazioni reciproche: formule di Eulero. Legami tra funzioni rigonometriche e iperboliche e le loro omologhe reali. Logaritmo di un numero complesso. Notazione esponenziale per i numeri complessi. Esercizi svolti in aula su soluzione di equazioni algebriche in C e disegno di luoghi geometrici Venerdi 6 Maggio Funzioni olomorfe: Funzioni f : C --> C, limiti e continuità in C. Derivabilità in senso complesso: funzioni olomorfe. Confronto con il caso reale. Condizioni di Cauchy-Riemann. Esempi di funzioni non derivabili in senso complesso. Funzioni armoniche coniugate, ortogonalità delle linee di livello di parte reale e parte immaginaria di una funzione olomorfa. Esercizi svolti su derivabilità di funzioni complesse; determinazione di una funzione olomorfa conoscendone solo la parte reale o solo la parte immaginaria. Linee di livello del logaritmo. Martedi 10 Maggio Funzioni armoniche, armonicità di parte reale e parte immaginaria di una funzione olomorfa. Serie di potenze: Concetti di convergenza puntuale, uniforme, assoluta per successioni e serie di funzioni. Convergenza delle serie di potenze: lemma di Abel. Estremo superiore e inferiore. Massimo e minimo limite. Raggio di convergenza e formula di Hadamard. Continuità della somma di una serie di potenze. Mercoledi 11 Maggio Derivabilità delle funzioni somma di una serie di potenze. Derivabilità per serie. Esercizi su determinazione del raggio di convergenza di una serie di potenze. Serie lacunari. Venerdi 14 Maggio Funzioni analitiche complesse. Posizione degli zeri di una funzione analitica. Principio di identità delle funzioni analitiche e sue applicazioni. Riepilogo su serie di Taylor e McLaurin; alcuni importanti sviluppi in serie. Esercizi sulla determinazione della somma di una serie di potenze. Martedi 17 Maggio Serie di Fourier Spazi di Hilbert: prodotto scalare e prodotto hermitiano, norma. Disuguaglianze triangolare e di Schwarz. Successioni di Cauchy, spazi completi, spazi di Hilbert. Esempi di spazi di Hilbert e di spazi non completi. Lo spazio L2. Mercoledi 18 Maggio Proprietà dello spazio L2. Disuguaglianze di Hölder e di Minkowski. Metodo dei minimi quadrati in Rn e in L2. Lo spazio L2[-Pi, Pi]; norma e prodotto scalare in L2[-Pi, Pi]. Sistemi ortonormali trigonometrico ed esponenziale in L2[-Pi, Pi]. Venerdi 20 Maggio Serie di Fourier in L2[-Pi, Pi] come problema di miglior approssimazione. Forma trigonometrica e forma complessa delle serie di Fourier. Relazioni tra i coefficienti an, bn, cn. Martedi 24 Maggio Proprietà delle successioni approssimanti e decrescenza della norma dell'errore commesso all'aumentare del numero di termini dello sviluppo. Ortogonalità fra funzione approssimante e errore di approssimazione. Convergenza delle serie di Fourier in L2. Completezza dei sistemi trigonometrico ed esponenziale. Esercizi su serie di potenze e loro somma. Mercoledi 25 Maggio Teoremi di convergenza puntuale delle serie di Fourier. Nucleo di Dirichlet. Esercizi su basi ortonormali e migliore approssimazione. Semplici sviluppi in serie di Fourier. Giovedi 26 Maggio Esercizi di riepilogo in preparazione della prima prova intercorso. Venerdi 27 Maggio Prima prova intercorso. Martedi 30 Maggio Altre proprietà delle serie di Fourier. Proprietà di derivazione e di integrazione delle serie di Fourier. Serie di soli seni e di soli coseni. Serie di Fourier in intervalli diversi da [-Pi, Pi]. Trasformate di Fourier Trasformate di Fourier come caso limite delle serie di Fourier. Definizione, operatore di Trasformazione. Limitatezza delle trasformate di Fourier delle funzioni intergrabili. Proprietà di riscalamento. Esercizi su sviluppi in serie di Fourier; relazioni tra simmetrie e coefficienti di Fourier. Mercoledi 1 Giugno Conseguenze delle simmetrie della funzione sulla sua trasformata di Fourier. Parte pari e parte dispari di una funzione. Proprietà di ritardo. Esempi di calcolo di trasformate di funzioni semplici. Funzioni caratteristiche e funzione di Heaviside. Venerdi 3 Giugno Lezione non effettuata. Martedi 7 Giugno Proprietà di modulazione. Teorema di inversione della trasformata di Fourier. Formula di dualità. Proprietà di derivazione. Qualche esempio. Mercoledi 8 Giugno Relazioni tra regolarità della funzione e comportamento all'infinito della trasformata. Convoluzione tra due funzioni L1. Trasformata della convoluzione e convoluzione delle trasformate. Delta di Dirac e sua trasformata di Fourier. Cenni sulle distribuzioni. Esempi di applicazione delle proprietà delle trasformate di Fourier. Trasformata della funzione gaussiana. Uso della delta di Dirac per il calcolo di alcune trasformate. Venerdi 10 Giugno Trasformate di Laplace Definizione, semipiano e ascissa di convergenza. Ordine esponenziale di una funzione. Linearità dell'operatore di trasformazione. Calcolo delle trasformate per alcune funzioni elementari. Martedi 14 Giugno Limitatezza e comportamento all'infinito delle trasformate di Laplace. Proprietà di riscalamento, shift e modulazione. Trasformate di funzioni periodiche. Derivata della trasformata di Laplace, trasformata di xnf(x); trasformata della derivata di f. Vari esempi Mercoledi 15 Giugno Trasformata della convoluzione. Trasformata della primitiva e primitiva della trasformata. Inversione della trasformata di Laplace nel caso delle funzioni razionali fratte. Vari esercizi svolti sull'applicazione delle trasformate di Laplace ad equazioni differenziali ed integrali.

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