Francesco Mugelli

La gara di Matematica

Problema 1 Problema 6 Problema 11 Problema 16
Problema 2 Problema 7 Problema 12 Problema 17
Problema 3 Problema 8 Problema 13 Problema 18
Problema 4 Problema 9 Problema 14 Problema 19
Problema 5 Problema 10 Problema 15 Problema 20


Presentiamo qui alcuni problemi scelti tra quelli assegnati nelle gare di matematica riservate a studenti dell' ultimo anno delle scuole secondarie che annualmente si svolgono al Dipartimento di Matematica e da altre gare ma sempre dello stesso livello.

Le conoscenze richieste per poter risolvere tali problemi non sono molto distanti da quelle che possiede mediamente uno studente dell'ultimo anno. Sono però problemi che richiedono un pò più di intuito e fantasia rispetto ai problemi ai quali lo studente è abituato.

A chi si vuole cimentare nella loro risoluzione consigliamo di farlo non con l'intento di verificare il livello della propria preparazione matematica ma soltanto per divertimento: tali problemi infatti a volte celano argomenti trattati nei corsi del secondo anno del corso di laurea mentre a volte è sufficiente la conoscenza della sola geometria piana. Hanno comunque lo scopo di dimostrare che la matematica può anche essere divertente e che non si riduce agli aspetti classici presentati nelle scuole secondarie.

Buon divertimento.


Problema 1

Sono dati 7 numeri interi positivi, a due a due distinti, tali che, presi comunque due di essi, la differenza fra il più grande e il più piccolo dei due risulti uguale a uno dei 7 numeri dati. Sapendo che il più piccolo dei 7 numeri è uguale a 5, trovare i rimanenti 6.

Problema 2

È vero che "una superficie di cui tutte le sezioni piane siano circonferenze è necessariamente una sfera"? Se è vero, dimostrarlo; se non è vero dare un controesempio.

Problema 3

Andando a passeggio vi accorgete di essere entrati in una regione strana, e precisamente in uno spazio a un numero di dimensioni maggiore di quello (3) a cui siete abituati. Nessuno vuol dirvi quale sia il numero n delle dimensioni di quello spazio; vi viene però fornita da un passante un'indicazione che può permettervi di trovare la risposta. Egli dice che " per raddoppiare il volume di un solido (ipercubo, ipersfera o qualunque altra forma) è necessario aumentare le misure di lunghezza (lato, raggio ecc. ecc.) del 10% circa".
Si usino le approssimazioni seguenti:
  • loge2 = 0.693,
  • a - a2/2 < loge(1 + a) < a per ogni a positivo.

Problema 4

Sia d un numero dispari. Dimostrare che l'equazione x2 = 4y + d è risolubile in numeri interi (cioè con x, y interi) se e solo se d è della forma 4m + 1 (con m intero). Trovare in tal caso tutte le radici dell'equazione.

Problema 5

È dato un rettangolo di misure a e b. Tale rettangolo è suddiviso in tanti rettangolini di misure ai e bi. Sappiamo che ciascuno dei rettangolini gode della proprietà che "la misura di almeno una delle due dimensioni è intera (ma non sappiamo quale delle due)". Dimostrare che almeno uno dei due numeri a e b è intero.

Problema 6

Trovare un numero intero formato da tre cifre distinte, sapendo che:
  • tale numero è primo
  • la somma delle sue cifre è un numero primo
  • il numero formato dalle stesse tre cifre ma in ordine inverso è ancora primo

Problema 7

Provare che l'equazione 4x4 - 6x3 + x2 - 2x + e = 0 non ha soluzioni negative.

Problema 8

  1. Si vuole lastricare un pavimento mediante mattonelle a forma di esagono regolare, di eguale grandezza ma di vario colore.
  2. Quale è il minimo numero di colori che occorrono se si chiede che due mattonelle aventi un lato in comune non risultino mai del medesimo colore? Quale è il minimo numero di colori occorrenti se, oltre a chiedere che due mattonelle aventi un lato in comune non siano mai dello stesso colore, si vuole che le due mattonelle contrassegnate in figura con A e B abbiano egual colore.
Motivare con un adeguato ragionamento la risposta.

Problema 9

Una famosa congettura in teoria dei numeri afferma che ogni numero pari è somma di due numeri primi (es: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, ecc. ecc.). Supponendo che questa proprietà sia vera, si dimostri che qualunque sia n intero, n > 2, esiste un numero primo dispari p tale che n - 1 < p < 2n + 4. (Questo risultato è stato dimostrato indipendentemente dalla congettura.

Problema 10

Sia n un numero naturale. 5n + 2 può essere il quadrato di un numero naturale?

Problema 11

Nelle caselle di una scacchiera 4 × 4 si dispone un certo numero di fagioli, in modo che, scegliendo comunque due righe e due colonne e togliendo i fagioli posti sulle caselle cosí determinate, rimanga almeno un fagiolo. Quanti fagioli c'erano come minimo sulla scacchiera?

Problema 12

Sono dati nello spazio a tre dimensioni sette punti (a 3 a 3 non allineati) che chiameremo vertici. Si consideri la figura ottenuta aggiungendo ai vertici i lati, cioè i segmenti che hanno come estremi due vertici qualunque. Si colori ciascun lato o in rosso o in blu.
Dimostrare che, comunque si faccia la colorazione, si troveranno sempre almeno due triangoli monocromatici (cioè aventi ciascuno i 3 lati di uno stesso colore).
Questa proprietà vale ancora se si parte da un minor numero di vertici?

Problema 13

Sia dato un quadrato Q con lato di lunghezza l. Si considerano le coppie di cerchi C1 e C2 contenuti in Q e privi di punti interni in comune.
Determinare C1 e C2 in modo che la somma delle loro aree sia massima.

Problema 14

Tre sfere hanno un punto in comune; in quali condizioni esiste una retta che ha solo questo punto in comune con ciascuna delle tre sfere?

Problema 15

Su una retta sono dati alcuni segmenti e si suppone che due qualsiasi di questi segmenti abbiano almeno un punto in comune. Provare che esiste un punto sulla retta che è contenuto in tutti i segmenti assegnati.

Problema 16

Consideriamo il numero ottenuto moltiplicando fra loro tutti gli interi da 1 a 10000 (il cosiddetto fattoriale di 10000). Quante volte vi è contenuto come fattore il numero 7?

Problema 17

Sia
a = 0.123456789101112131415... 979899100101102...

il numero ottenuto scrivendo di seguito dopo la virgola, tutti gli infiniti numeri interi positivi nell'ordine naturale.
Il numero a è razionale o irrazionale?

Problema 18

E' vero che il numero formato da 27 cifre tutte uguali a 1 è divisibile per 27? Si può dare una risposta a tale quesito senza fare la divisione?

Problema 19

Dimostrare che:

Problema 20

Nel piano sono assegnati due punti P1 e P2 aventi fra loro distanza uguale a 4 secondo una unità di misura prefissata.
  1. Provare che vi sono infiniti quadrilateri convessi aventi i vertici P1, P2, P3, P4 tali che P2P3 = 3, P3P4 = 2, P4P1 = 1.
  2. Provare che vi è un quadrilatero avente le predette proprietà e con i quattro vertici su una circonferenza.