Geometria delle Incidenze

Condizioni di incidenza
Teorema di Desargues
Teorema di Pascal
Teorema di Brianchon
Dualità
Infinito
Bibliografia

Le condizioni di incidenza

Teorema di Desargues

Enunciato: " Siano ABC e A'B'C' due triangoli in un piano. Supponiamo che le rette che congiungono i vertici corrispondenti siano tutte e tre incidenti in uno stesso punto. Allora i punti di intersezione dei lati corrispondenti sono allineati."
È curioso che la dimostrazione di questo teorema nel piano non sia immediata e che invece diventi molto facile nel caso tridimensionale: in questo caso i due triangoli appaiono come basi di un tronco di piramide con vertice in O.
Infatti i punti P, Qe R appartengono simultaneamente al piano contenente il triangolo ABC e quello contenente il triangolo A'B'C' e risulteranno quindi allineati sulla retta di intersezione dei due piani.

Il teorema nel caso piano può essere derivato dal caso tridimensionale per proiezione: la configurazione di Desargues piana può essere pensata come l'ombra di una configurazione di Desargues tridimensionale.

Teorema di Pascal

Enunciato: " Indichiamo con 1,2,3,4,5,6, i vertici di un esagono. Supponiamo che i vertici 1,3,5, stiano allineati sulla retta a e che i rimanenti siano allineati sulla retta b. Allora i tre punti di intersezione P, Q,R dei lati opposti del triangolo sono allineati."
E' interessante osservare che questo teorema ha una validità piú generale: al posto delle due rette a, b possiamo utilizzare una conica cioè una ellisse, una iperbole,o una parabola: in questo caso chiederemo che i 6 punti 1,2,3,4,5,6 appartengano alla conica.
Osserviamo che le due rette incidenti possono essere pensate come caso limite di una famiglia di iperbole: l'equazione di una iperbole è data ad esempio da
xy = t
al variare di t otteniamo una famiglia di iperbole che degenerano per t = 0 in due rette.

Teorema di Brianchon

Enunciato: " Indichiamo con 1, 2, 3, 4, 5, 6, i vertici di un esagono. Se i lati 12, 34, 56, convergono in un punto P e i lati 23, 45, 61, convergono in un punto Q allora le tre diagonali dell'esagono 14 25 36 convergono in un punto O. "

Dualità

Consideriamo le due figure qui sotto:
Queste figure sono legate dalla seguente relazione: sono descritte dalle stesse condizioni di incidenza ma con il ruolo dei punti e delle rette scambiati. Ad esempio le rette r ed s si incontrano nel punto A nella prima figura e nella seconda figura le i punti r ed s sono congiunti dalla retta A. Questa relazione va sotto il nome di dualità.

L'interesse principale per i fenomeni di dualità è dovuto soprattutto al seguente fatto generale:

Principio di Dualità: "Se un certo teorema è vero allora è vero anche il suo duale".

Il teorema di Pascal e quello di Brianchon sono duali.

Dato un teorema si può enunciare il suo duale in modo assolutamente meccanico con una operazione quasi grammaticale.

Questo è qualcosa di piú di un semplice teorema di geometria. Un teorema di geometria asserisce un fatto riguardante oggetti geometrici. Il principio di dualità invece asserisce qualcosa sui teoremi di geometria. Questo a volte viene espresso dicendo che il principio di dualità è un meta-teorema.

Infinito

Talvolta quando due rette sono parallele diciamo che queste si incontrano all'infinito. Questo ha significato soltanto intuitivamente. In gemetria descrittiva si usa molto la tecnica della prospettiva nella quale rette parallele nello spazio diventano sul disegno rette convergenti ad un punto (che rappresenta intuitivamente un punto all'infinito comune) chiamato fuoco.

Questi concetti intuitivi possono essere resi rigorosi: oggi i matematici usano molto spesso particolari spazi gemetrici chiamati spazi proiettivi che rappresentano appunto lo spazio ordinario con l'aggiunta di punti all'infinito. Ad esempio nel piano proiettivo due rette qualsiasi si incontrano sempre. Nello spazio tridimensionale proiettivo due rette possono essere incidenti oppure sghembe ma non esistono rette parallele.

Ovviamente non è possibile spiegare qui come si definiscono gli spazi proiettivi e come si possono utilizzare. Faremo perciò semplicemente appello alla fantasia (e ad un buona dose di fede) di chi legge. Quindi, in seguito diremo, che "r ed s si incontrano nel punto P" o per dire che r ed s sono realmete incidenti in un punto indicato con P oppure che sono parallele e in questo caso diremo che un'altra retta t passa anch'essa per P se è parallela a r (e ad s).

Quello che a noi interessa adesso è osservare che i teoremi di incidenza possono essere enunciati con piú efficacia con l'utilizzo del linguaggio dei punti impropri. Per due motivi:

Ad esempio cosa succede se il punto O nel teorema di Desargues è un punto improprio?
Il teorema vale anch'ora e questo caso è automaticamente contemplato nell'enunciato che abbiamo proposto se ammettiamo che i punti citati possano essere anche punti impropri.

Attenzione: Cosa succede se in una configurazione abbiamo due punti impropri? La retta che li congiunge si troverà all'infinito cioè ogni suo punto sarà un punto all'infinito. Questo è ad esempio quello che succede nel caso del teorema di Pascal se l'ellisse è un cerchio e l'esagono inscritto è regolare: i lati opposti sono paralleli e i punti di intersezione sono allineati sulla retta all'infinito.

Bibliografia