Dimostrazione Ad una qualunque radice l del polinomio caratteristico (eventualmente complessa) corrisponde per il punto 2 v Cn tale che Av= l v. Dobbiamo provare che $\lambda=\overline{\lambda}$ Abbiamo $A\overline{v}=\overline{Av}=\overline{\lambda v}=\overline{\lambda }\overline{v}$

Quindi
\begin{displaymath}(^t\overline{v}A)v=^t(A\overline{v})v=^t(\overline{\lambda }\overline{v})v=\overline{\lambda}
(^t\overline{v}v)\end{displaymath}

ed analogamente la stessa espressione diventa:
\begin{displaymath}^t\overline{v}(Av)=^t\overline{v}(\lambda v)=\lambda (^t\overline{v}v)\end{displaymath}

Confrontando le due espressioni precedenti:
\begin{displaymath}(\overline{\lambda}-\lambda)(^t\overline{v}v)=0\end{displaymath}

Siccome
\begin{displaymath}(^t\overline{v}v)=\sum_{i=1}^n (Re v_i)^2+(Im v_i)^2>0\end{displaymath}
segue la tesi.