Geometrie e metriche:
appunti di un viaggio da Euclide a Einstein.

Giorgio Ottaviani
Dipartimento di Matematica.
via Vetoio, Coppito, 67010 L'Aquila
In ricordo di Eugenio Banzi

1. UNA FORESTA EUCLIDEA

Il nostro viaggio comincia, seguendo le parole di Einstein, dal "superbo edificio della geometria euclidea". Se ci chiediamo quali sono le curve più semplici che possiamo disegnare su un piano, la risposta sarà probabilmente, nell'ordine: 1) la retta, 2) la circonferenza. Queste curve, con cui siamo familiari, delimitano la maggior parte degli oggetti che ci circondano e le loro proprietà sono analizzate nei primi libri degli Elementi di Euclide. La geometria euclidea, descrivendo il mondo naturale in modo efficace e diretto, ha dominato per circa due millenni la scena matematica.
La teoria della relatività di Einstein, pubblicata nel 1916, giunge al termine di un lungo percorso critico dove altre geometrie hanno fatto la loro comparsa, ed infine hanno trovato conferme e valide applicazioni. La descrizione di Einstein della forza gravitazionale introduce un modello di geometria nuovo, diverso da quello di Euclide, in cui i concetti di retta e circonferenza hanno cambiato il loro significato ed anche alcune proprietà. Per affrontare questi nuovi modelli geometrici ci serviremo di un esempio che descrive una situazione "ideale" un po' paradossale, ma che ci aprirà la strada verso discussioni più interessanti.
Immaginiamo un altopiano ricoperto da una foresta, dove è stata costruita una casetta isolata. Un ecologo viene inviato ad abitare nella casetta per studiare l'equilibrio della foresta. Può spostarsi a piedi alla velocità di 4Km/h, con uguale facilità in tutte le direzioni.
La prima domanda è: quali sono i punti che il nostro studioso può raggiungere partendo dalla casetta O ed avendo a disposizione un'ora di cammino? La risposta è ovvia: si tratta dei punti compresi in una circonferenza con centro in O e raggio 4 km.
Più in generale, avendo a disposizione un tempo T (espresso in ore), il raggio della circonferenza che comprende la zona raggiungibile diventa 4T (espresso in km).


Se l'ecologo deve raggiungere un punto P, il percorso più breve è il segmento che unisce O con P.
La geometria di questa foresta é nota come geometria euclidea.

2 LA CIRCONFERENZA DEL CICLISTA

Dopo un anno la situazione cambia; dal nostro punto di vista cambia la geometria della regione. Viene infatti costruita una strada rettilinea che passa proprio dalla casa e l'ecologo si procura una bicicletta con la quale può muoversi a velocità v1 lungo la strada ed a velocità v2 nella foresta. Naturalmente abbiamo

v2 £ v1

I nostri quesiti iniziali sono adesso più complessi e conviene riformularli:
Primo quesito: Quali sono i punti che l'ecologo può raggiungere in un tempo T?
La prima scelta può essere quella di muoversi lungo la strada. Si può arrivare fino alla distanza v1T in entrambe le direzioni lungo la strada (punti A e B in figura).
La seconda scelta è quella di muoversi perpendicolarmente alla strada. In questo caso la costruzione della strada non può aiutare il nostro amico che può arrivare fino alla distanza v2T (punti C e D in figura).


Naturalmente per raggiungere altri punti della foresta dobbiamo prendere in considerazione dei tragitti intermedi. Possiamo usare la strada per un tempo t1 e poi entrare nella foresta per il tempo rimanente T - t1. In questo caso i punti raggiungibili sono indicati in figura (ci limitiamo per simmetria al semipiano a destra dell'asse delle ordinate):


Unendo tutte queste regioni al variare di t1 da O a T otteniamo la regione cercata, il cui bordo verrà chiamato circonferenza del ciclista. Per determinare l'unione disegniamo la circonferenza con centro in O e raggio v2T e tracciamo le tangenti da B che ha coordinate (v1T, O). Le circonferenze Ct1 di raggio v2(T - t1) della figura precedente hanno centro che dista da B esattamente v1T - v1t1 = v1(T - t1). Tracciando dal centro di Ct1 la perpendicolare alla tangente QB troviamo un triangolo simile a OQB il cui lato parallelo a OQ é lungo (per similitudine) ancora

Quindi la tangente QB é tangente anche a tutte le circonferenze Ct e si chiama il loro inviluppo.

Per raggiungere un punto Z come nella figura seguente è disegnato il percorso. Notiamo che

Possiamo disegnare infine la circonferenza del ciclista relativa al tempo T

La retta ottenuta prolungando BZ ha equazione cartesiana

La risposta che abbiamo ottenuto al primo quesito ci aiuta adesso a rispondere al
Secondo quesito:L 'ecologo ciclista deve raggiungere parendo da O un punto P0 = (x0,y0). Qual è il percorso più breve (che chiameremo geodetica)?
Otteniamo la risposta considerando la famiglia di tutte le circonferenze del ciclista centrate in O al variare di T.

Dobbiamo cercare il valore di T minimo che comprende P0 all'interno della circonferenza corrispondente. Si presentano quindi due casi:
  1. Se P0 é contenuto nell'angolo "verticale" di semiampiezza a con sina =v2/v1 allora non conviene utilizzare la strada e la geodetica è il segmento che unisce O con P0.
    L'equazione cartesiana di quest'angolo è

    che mostra che l'angolo coincide con tutto il piano per v1= v2 e che invece tende ad assottigliarsi per v1/v2 <<1. In ottica le rette che determinano questo angolo corrispondono al fenomeno della "riflessione totale", come vedremo nel 4.
  2. Se P0 non è contenuto nell'angolo del punto 1), possiamo supporlo nel quarto quadrante come in figura.

    Allora la geodetica si ottiene come in figura tracciando da P0 la retta che incontra la verticale con angolo a con sin a =v2/v1
    Parentesi analitica (può essere omessa da chi non conosce le derivate)
    Accenniamo alla soluzione analitica del secondo quesito (problema di minimo). Da questa soluzione è possibile, ma in modo meno diretto, risalire anche alla soluzione del secondo quesito (cioè alla circonferenza del ciclista). Il tempo impiegato per il percorso da O a P0 (nel primo quadrante) rimanendo nella strada per una lunghezza z è pari alla funzione

    Calcolando la derivata prima e ponendola uguale a zero si trova

    che è accettabile soltanto quando questo valore è non negativo. Infatti

    equivale con facili calcoli a

    che è l'equazione dell'angolo del punto 1) considerato in precedenza.

    3 ANCORA SULLE GEODETICHE

    Abbiamo visto che la costruzione della strada porta il nostro ecologo a studiare un po' di matematica. Ben presto si rende però conto che non ha risolto tutti i suoi problemi perché non tutti i suoi spostamenti iniziano dalla casa. Ad esempio capisce subito che per spostarsi da due punti A e B lontani tra loro ma vicini alla strada


    è conveniente raggiungere la strada mentre per due punti vicini tra loro ma lontani dalla strada la linea retta è sempre il percorso più breve.
    Cercando quindi un criterio che gli suggerisca in quali casi sia meglio servirsi della strada si pone il
    Terzo quesito: Qual è il percorso più breve (geodetica) che unisce due punti qualunque A e B della foresta?
    Per semplicità risponderemo a questo quesito solo nel caso in cui i due punti si trovano ad uguale distanza dalla strada (come avviene in entrambi i casi descritti nelle figure precedenti).
    In questo caso conviene considerare il punto M in cui l'asse di AB incontra la strada.
    Per la simmetria del problema, se il percorso minimo passa dalla strada, deve senz'altro passare anche da M. Verifichiamo quindi se il percorso minimo da A ad M (già risolto nel 2 pensando alla casa in M !) è più breve della metà del percorso rettilineo BA. In un sistema di coordinate centrato in M le coordinate di B ed A sono rispettivamente (xB, yB) e (-xB, yB). Posto a tale che sin a = v2/v1, la verifica richiesta equivale a

    Moltiplicando per v2 otteniamo
    (xB - yB tan a) sin a + yB/cos a £ xB

    xB (sin a -1)+ yB cos a £ 0


    Questa disuguaglianza è soddisfatta se ( xB, yB ) appartiene alla regione contenente l'asse delle ascisse e limitata dalle rette

    Queste due rette possono essere anche scritte come

    Il che mostra che quando v1 = v2 si identificano entrambe con l'asse delle ascisse.
    Pertanto per trovare la geodetica tra A e B (supposti al di sotto della strada) non dobbiamo fare altro che tracciare le due rette per M con coefficiente angolare
    La risposta è la seguente: se A e B sono interni alla regione determinata dalle due rette allora la geodetica coincide con il segmento che unisce A e B, altrimenti la geodetica passa da M ed è rappresentata in figura

    Per descrivere la geometria della regione introduciamo adesso un punto di vista completamente nuovo. Definiamo la distanza tra due punti come il tempo minimo che impieghiamo per andare dall'uno all'altro e corrispondentemente definiamo la lunghezza di una curva come il tempo impiegato a percorrerla. Con questo punto di vista (abbiamo cambiato la misura delle lunghezze!) le geodetiche sono le curve più corte tra quelle che uniscono due punti. Ad esempio abbiamo

    Adesso il nome "circonferenza" del ciclista assume pieno significato perchè essa viene vista come luogo dei punti equidistanti da un punto dato, esattamente come avviene per la circonferenza euclidea (vedi 1).
    Non sappiamo se il ciclista sia arrivato a questa conclusione, ma questo punto di vista si è fatto strada faticosamente nella storia della scienza, e può essere ricondotto essenzialmente alla nascita delle geometrie non euclidee, avvenuta intorno al 1830 per l'opera (indipendente) di J. Bolyay e N.I Lobacevskij. Essi riconobbero che sostituendo alla parola "retta" la parola "geodetica" era possibile ripetere gran parte degli Elementi di Euclide. Dalla lettura delle lettere private di K.F. Gauss risulta che egli aveva sviluppato un punto di vista analogo 20 anni prima ma non osò mai renderlo pubblico perchè temeva "le strida dei beoti". Più avanti accenneremo alle implicazioni logiche e filosofiche che rendevano prudente Gauss tanto da fargli scrivere questa famosa espressione. Può fare comunque riflettere che due secoli dopo il processo a Galileo da parte dell'Inquisizione, la libertà di pensiero nelle opinioni scientifiche era tutt'altro che acquisita.

    4 UNA PARENTESI SULL'OTTICA GEOMETRICA

    Ci proponiamo ora di studiare quali sono i percorsi minimi in un piano che è diviso in due parti da una retta. In un semipiano ci si può muovere a velocità v1 mentre nell'altro la velocità è v2. Siano A e B due punti posti nei due semipiani diversi.
    Il lettore può immaginare il ciclista che si trova in una foresta di cui una parte è più scorrevole mentre l'altra è più difficile da percorrere.
    Oppure si può pensare ad un raggio luminoso che attraversa due mezzi (ad esempio aria ed acqua) con velocità differenti. Il principio di Fermat afferma che la luce segue sempre il percorso minimo. In ogni caso il percorso minimo che unisce A e B sarà rappresentato da due segmenti che formano due angoli a1 e a2 con la normale alla retta di divisione.
    Vale la
    Legge di rifrazione Il percorso minimo si ottiene quando


    Nel caso che i due mezzi siano aria e acqua si ha v1 / v2 = 0.75, nel caso di aria e vetro si ha v1 / v2 = 0.66.
    La legge di rifrazione descrive quali sono le geodetiche nella regione precedente dove ancora una volta definiamo la distanza tra due punti come il tempo minimo necessario per passare da uno all'altro. Quando v1 = v2 allora la legge di rifrazione implica che a1 = a2 e quindi le geodetiche sono sempre segmenti di rette. La seguente figura illustra alcune geodetiche da A a B per diversi valori di v1 e v2.

    La seguente figura illustra alcune geodetiche con lo stesso angolo di incidenza a1 per diversi valori di v1 e v2.

    Dimostrazione della legge di rifrazione a1 e a2 sono legati dalla relazione
    a tan a1 + b tan a2 = c (*)

    che vediamo come una relazione implicita a2 = a2 (a1). La funzione tempo da minimizzare è

    da cui ponendo dt/da1 = 0 abbiamo
    (**)

    Derivando (*) rispetto ad a1 otteniamo
    (***)

    Sostituendo (***) in (**) si ricava

    che semplificando è proprio la legge di rifrazione.
    Quando l'angolo di incidenza a1 soddisfa a
    sin a1 = v1 / v2

    si ricava dalla legge di rifrazione che a2 è un angolo retto, e quindi il raggio luminoso non attraversa il secondo mezzo. Si parla allora di "riflessione totale". Questo è proprio il valore dell'angolo che avevamo trovato nel 2 a proposito del percorso minimo del ciclista.

    5 DAL DISCRETO AL CONTINUO: UN MODELLO DI GEOMETRIA NON EUCLIDEA

    Il problema della rifrazione in due mezzi differenti si generalizza al caso in cui abbiamo tre mezzi (ad esempio in successione: aria, acqua, vetro). Il disegno seguente mostra che una geodetica è determinata adesso da 3 angoli a1 a2 a3 che soddisfano alle relazioni


    Dovrebbe adesso essere semplice immaginare una situazione in cui abbiamo molti mezzi differenti, disposti a strisce parallele come in figura, dove è mostrata una geodetica, che consiste in tanti piccoli segmenti di cui ciascuno incontra il successivo con angoli in rapporto predeterminato dalle velocità in ciascun mezzo.

    Se il lettore preferisce può immaginare il ciclista ecologo in una foresta fatta di tante strisce in ognuna delle quali può tenere una velocità diversa.
    Lo sforzo da compiere adesso è quello di passare dalla situazione "discreta" precedente ad una situazione "continua", dove la velocità non varia bruscamente da una striscia ad un'altra ma subisce dei mutamenti graduali in modo continuo. Possiamo immaginare un "passaggio al limite" dal discreto al continuo considerando delle strisce sempre più numerose e sempre più sottili. Nella situazione continua la velocità è una funzione positiva e continua (o meglio differenziabile) f(y) dipendente solo dalla ordinata y. Nel piano euclideo f è una funzione costante (che possiamo supporre uguale ad 1 in opportune unità di misura)
    La relazione tra il discreto e continuo è una delle problematiche più antiche del pensiero umano, ed è presente in numerosi scritti di Aristotele, Democrito, Zenone e altri pensatori greci. Si veda [J.L.Manin, voce "Continuo/discreto" in Enciclopedia , Einaudi 1978]. il calcolo differenziale introdotto da Newton e Leibniz ha fornito uno strumento formidabile per trattare i fenomeni continui ed ha trovato uno dei più grandi successi con la relatività generale di Einstein, che permette di descrivere il mondo fisico in grande scala. D'altronde la meccanica quantistica introduce un modo di pensare "discreto" nei fenomeni relativi alle particelle elementari (in piccola scala) e non è stata ancora trovata una teoria soddisfacente che unifichi queste due visioni. Nel campo della biologia la scoperta del DNA ha mostrato come i mattoni su cui si fonda la vita sono discreti. Negli ultimi anni la matematica discreta ha avuto un forte impulso per la diffusione del computer, il cui funzionamento è basato su fenomeni discreti.
    È difficile stabilire se il modello discreto con numerose e sottili strisce sia più aderente alla realtà del modello continuo con la funzione velocità f(y). Per i nostri scopi dobbiamo solo pensarli come due modelli matematici differenti. Il modello continuo ci permetterà di trovare delle soluzioni molto semplici ed eleganti.
    Per determinare le geodetiche nel modello di piano dove la velocità è una funzione f(y) della distanza y da una retta fissata (asse delle ascisse) consideriamo nuovamente il caso con N strisce differenti. Nella figura seguente è mostrata una geodetica che incontra con angolo a (y) l'asse verticale all'altezza y. Consideriamo dei punti di ordinata y1, y2, ...,yN ciascuno in una striscia differente. Nella striscia che contiene yk l'angolo con la verticale è a(yk) e la velocità è f(yk).

    La legge di rifrazione ci dice allora che

    per k=1,2,...,N-1.
    Questa equazione ha senso quando l'angolo di incidenza non è nullo, cioè quando la direzione non è verticale. In questo caso è evidente che le rette verticali rappresentano sempre percorsi minimi tra due punti.
    L'equazione precedente si può scrivere come

    e questa scrittura mostra che sin (a(y))/f(y) è indipendente da y!!
    Questo è vero qualunque sia il numero delle strisce, pertanto ricaviamo che nel modello continuo

    dove K è una costante.
    Una cosa salta subito agli occhi: nel caso in cui f(y) = y (questo è il caso più semplice dopo il caso euclideo) il rapporto rappresenta la lunghezza del raggio perpendicolare alla traiettoria che unisce il punto di altezza y con l'asse delle ascisse:

    Il fatto che questo raggio sia costante ci dice quindi che il punto si muove su una circonferenza di raggio K con centro sull'asse delle ascisse. Diamo un nome al semipiano superiore {y > 0} dove i punti si muovono in ogni direzione con velocità f(y) = y, che si dice piano iperbolico (o semipiano di Poincaré).
    Abbiamo ricavato il
    Teorema Le geodetiche del piano iperbolico sono le semirette verticali e le semicirconferenze con centro sull'asse delle ascisse.
    L'interpretazione fisica del risultato precedente è la seguente: in un vetro in cui la velocità della luce (=indice di diffrazione) varia in modo lineare con la distanza da un bordo rettilineo, un raggio laser descrive traiettorie date da semicirconferenze o da rette.
    Notiamo adesso il seguente risultato (il lettore provi a sostituire "iperbolico" con "euclideo" e "geodetica" con "retta"...):
    Per due punti qualunque del piano iperbolico passa una ed una sola geodetica.
    Dimostrazione
    se la retta che unisce i due punti A e B è verticale è anche una geodetica. Se non è verticale allora l'asse del segmento AB incontra l'asse delle ascisse in un punto C che è centro di una semicirconferenza (geodetica) passante da A e B. C è l'unico punto sull'asse delle ascisse equidistante da A e B (proprietà dell'asse di un segmento) e quindi la semicirconferenza trovata è unica.
    Uno dei postulati della geometria euclidea è il celebre Postulato delle parallele che recita:
    Per un punto P del piano euclideo esterno ad una retta r passa una unica retta che non incontra r (parallela ad r).
    Adesso sostituendo "euclideo" con "iperbolico" e "retta" con "geodetica" l'enunciato precedente diventa falso! Il disegno seguente mostra infatti infinite geodetiche per P che non incontrano la geodetica r

    Questo fatto ha una fortissima importanza storica. Il Postulato delle parallele è meno intuitivo rispetto agli altri postulati (ad esempio rispetto al postulato sulla unicità della retta per due punti). Pensando che la geometria euclidea avesse un valore "assoluto" per due millenni numerosi matematici (prima di Bolyay e Lobacevskij) hanno tentato di dimostrare (si veda [Meschkowsky]) il postulato delle parallele a partire dagli altri postulati della geometria euclidea. Siccome gli altri postulati sono tutti verificati nel piano iperbolico (con la sola accortezza di sostituire "retta" con "geodetica"), se una tale dimostrazione esistesse si dovrebbe applicare anche al piano iperbolico. Ma nel piano iperbolico il postulato delle parallele è falso e quindi una dimostrazione non può esistere. Si noti la sottigliezza logica di dimostrare "l'impossibilità di avere una dimostrazione". Questo significa che il postulato delle parallele va effettivamente aggiunto agli altri assiomi ed è proprio quello che rende euclidea la geometria , facendole perdere ogni carattere "assoluto". La geometria euclidea è considerata oggi come una delle tante geometrie. Seguitando l'analogia con l'esempio del raggio laser osserviamo che un vetro con indice di diffrazione costante è uno dei tanti vetri che si possono costruire.

    Riprenderemo alla fine del 6 il calcolo delle geodetiche per un piano dove la funzione velocità f(y) è qualunque.

    6 CIRCONFERENZE IPERBOLICHE E CURVATURA GAUSSIANA

    Ci proponiamo adesso di descrivere la lunghezza (non euclidea) di una curva nel piano dove la velocità è data da f(y) funzione della distanza y dalla retta delle ascisse. La seguente motivazione può essere omessa da chi conosce già gli integrali.
    Ricordiamo che abbiamo definito in precedenza la lunghezza di una curva come il tempo impiegato per percorrerla. Consideriamo una curva divisa in tanti intervalli con estremi (x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN). Se gli intervalli sono molti e quindi sufficientemente piccoli, la velocità nel k-esimo intervallo può essere supposta costante ed uguale a f(yk ).
    La lunghezza euclidea del k-esimo intervallo può essere approssimata con l'espressione (che deriva dal teorema di Pitagora). Pertanto il tempo (tk+1 - tk) necessario per percorrere il k-esimo intervallo può essere approssimato con l'espressione


    Sommando per k=l,2,...,N e passando al limite per N®º si trova il seguente
    Lemma Data una curva di equazioni parametriche x = x(t), y = y(t) per a £ t £ b nel piano, un punto che la percorre con velocità f(y(t)) impiega un tempo pari a

    Siamo ora pronti per una definizione "rivoluzionaria":

    Definizione Data una curva C di equazioni parametriche x = x(t), y = y(t) per a £ t £ b nel piano non euclideo descritto da una funzione positiva "velocità" f(y), la sua lunghezza L(C) è
    (*)

    Nel linguaggio di Riemann ds2 = (dx2 + dy2)/f2(y) si dice il tensore metrico e la formula precedente si può leggere come L:= òds.
    Come caso particolare abbiamo la lunghezza delle curve nel piano iperbolico.
    Definizione Data una curva di equazioni parametriche x = x(t), y = y(t) per a £ t £ b nel piano iperbolico, la sua lunghezza è

    Una varietà riemanniana è grossomodo uno spazio dove è definita una nozione di lunghezza per le curve. Il piano non euclideo con una funzione "velocità" f(y) è una varietà riemanniana. In questo ambito una geodetica è definita (grossomodo) come una curva che è il percorso più corto tra due qualunque suoi punti. Un esempio più familiare di varietà riemanniana è la sfera, dove le geodetiche sono date dalle circonferenze ottenute tagliando la sfera con piani passanti per il suo centro. Le rotte aeree seguono approssimativamente le geodetiche sulla Terra.
    Le geodetiche nel piano dove le lunghezze sono descritte dalla (*) tagliano la verticale con un angolo a(y) che soddisfa
    sin a (y) = K f (y,)

    con K costante. Quindi abbiamo

    da cui si ricava la formula per un arco di geodetica espresso come x=x(y)

    dove C è un'altra costante. Quando f(y)=y la soluzione dell'integrale precedente è

    che è infatti l'equazione di una arco di circonferenza di centro (C,0) e raggio K.
    Nel caso del piano iperbolico la distanza tra due punti (detta distanza iperbolica) si può calcolare risolvendo l'integrale che determina la lunghezza della geodetica tra i due punti. E' facile verificare che la distanza tra i due punti con la stessa ascissa (x,y1) e (x,y2) è data da

    Nel caso in cui i due punti P1 e P2 sono come in figura

    si può verificare (con tecniche standard in ogni corso universitario di Analisi I) che la distanza è data da

    Non avremo può bisogno di questo ultimo risultato.
    Nel caso del piano iperbolico diamo adesso la costruzione delle circonferenze. Per fare questo abbiamo bisogno di una parentesi, interessante di per sé.
    L'inversione rispetto ad una circonferenza

    Consideriamo una circonferenza C di centro O e raggio R nel piano. L'inversione rispetto a C è una trasformazione del piano che porta tutti i punti esterni a C in punti interni e viceversa. I punti di C rimangono invariati. Precisamente l'immagine del punto P è un punto sulla retta OP la cui distanza da O è data da

    Posto P = (x, y), e O = (0,0) le equazioni dell'inversione sono

    Il lettore può facilmente verificare che applicando ancora l'inversione all'immagine di un punto P si ritrova il punto P di partenza.
    Se (x(t), y(t)) sono le equazioni parametriche di una curva, l'immagine della curva attraverso l'inversione è data da dove

    Lemma Con le notazioni precedenti, vale per ogni valore del parametro t

    Dimostrazione
    Si calcola

    da cui dopo qualche calcolo

    e quindi

    Corollario Le lunghezze nel piano iperbolico di una curva e della sua immagine attraverso una inversione rispetto ad una circonferenza con centro sull'asse delle ascisse sono le stesse.
    Dimostrazione
    Con una traslazione orizzontale si può supporre che la circonferenza abbia centro nell'origine. La tesi segue allora dal lemma precedente e dalla definizione di lunghezza.
    La proprietà del corollario precedente si riassume affermando che l'inversione rispetto ad una circonferenza è una isometria del piano iperbolico, così come le traslazioni e le rotazioni sono isometrie del piano euclideo.
    Lemma Sia C una circonferenza di centro O e raggio R. Sia P un punto esterno. Siano A e B i punti di tangenza delle tangenti condotte da P a C. Allora la circonferenza C' centrata in P e passante per A e B (che è ortogonale a C) è trasformata in se stessa dall'inversione rispetto a C.
    Dimostrazione
    Sia Q Î C' e sia Q' l'altra intersezione della retta OQ con C'. Il teorema della secante e della tangente implica che

    il che implica che Q' è l'immagine di Q attraverso l'inversione.
    Teorema (LE CIRCONFERENZE NEL PIANO IPERBOLICO) Il luogo dei punti che hanno distanza iperbolica R dal punto P = (x, y) è una circonferenza euclidea C con centro in (x, y cosh R) e raggio y sinh R.
    Dimostrazione
    I punti sulla verticale di P che hanno distanza iperbolica pari a R sono i due punti P1 = (x, y1) e P2 = (x, y2) che soddisfano alle equazioni

    da cui

    Il punto medio tra i due punti è quindi (x, y cosh R) e la circonferenza centrata in questo punto passante per i due punti ha raggio y sinh R ed è proprio la C cercata. Dobbiamo provare che tutti gli altri punti di C hanno distanza iperbolica R da P.

    La circonferenza per P e con centro in M = (x, 0) è ortogonale a C per costruzione. Sia S= (x,-y). Segue

    (verificabile anche per via analitica). Sia C' un'altra qualunque circonferenza per P (e S) con centro sull'asse delle ascisse che incontra C in Q. Abbiamo da cui per il teorema della secante e della tangente C' è ortogonale a C. Per il lemma precedente l'inversione rispetto a C' porta C in se stessa e lascia invariato P. Quindi Q viene portato dall'inversione in un altro punto di C che ha ancora distanza R da P. Siccome Q è qualunque segue la tesi.
    Si può calcolare (sempre con tecniche standard in ogni corso di Analisi I) la lunghezza della circonferenza iperbolica di cui al teorema precedente. Il risultato del calcolo(che omettiamo) è
    2 p sinh R

    ed un fatto importante è che è indipendente dal punto !! Per piccoli valori di R l'espressione precedente può essere approssimata con

    dove i termini successivi corrispondono a potenze in R di ordine superiore a 3 e che sono trascurabili per R piccolo.
    Notiamo che il primo termine corrisponde al valore euclideo mentre i termini successivi portano delle "correzioni".
    In generale la circonferenza geodetica di raggio R nel piano con metrica indotta dalla "velocità" f(y) ha la lunghezza (per R piccolo):

    dove ancora i termini successivi contenenti potenze di R di ordine superiore a 3 e quindi trascurabili. (Questo risultato richiede l'introduzione delle "coordinate geodetiche" ed è più avanzato).La quantità
    K := f(y)f"(y) - f'(y)2

    si dice curvatura gaussiana e descrive il primo termine correttivo da apportare alla lunghezza della circonferenza rispetto al valore euclideo.
    -Nel piano euclideo abbiamo
    f(y)=1f' = f" = 0

    e quindi K = 0.
    -Nel piano iperbolico abbiamo
    f(y) = y f' = 1 f" = 0

    e quindi K = -1.
    Gli analoghi dei triangoli euclidei sono rappresentati dai triangoli geodetici , cioè da regioni di piano limitate da tre archi di geodetica. Il seguente disegno descrive un triangolo geodetico nel piano iperbolico

    Nel piano euclideo la somma degli angoli interni ad un triangolo è pari a p radianti (corrispondenti a 180 gradi). Questo enunciato è equivalente al Postulato delle parallele.
    È interessante osservare che nel piano iperbolico la somma degli angoli interni è sempre minore di p. Invece sulla sfera un triangolo geodetico ha somma degli angoli interni sempre maggiore di p.
    Il tensore metrico permette anche di calcolare le aree di regioni del piano, con un procedimento di calcolo integrale che omettiamo. Non possiamo però omettere un bellissimo risultato di Gauss, secondo cui nel piano iperbolico l'area di un triangolo geodetico con angoli pari a a, b, c è uguale a
    p- (a + b + c)

    Notiamo che il fatto che l'area sia positiva porta alla disuguaglianza che abbiamo appena menzionato. Inoltre il fatto che l'area del triangolo dipende solo dagli angoli è caratteristico del caso in cui la curvatura gaussiana è costante ma non nulla.
    Il concetto di curvatura è stato generalizzato da Riemann a spazi con un numero qualunque di dimensioni. Come abbiamo accennato, l'applicazione più importante di questi concetti matematici è senz'altro la relatività generale di Einstein, che nel 1979 ha ricevuto una ulteriore verifica sperimentale dall'osservazione di lontane galassie (fenomeno della "lente gravitazionale").
    Il nostro ecologo termina così il suo viaggio, probabilmente un po' confuso da tante idee che non si aspettava. Speriamo che gli appunti di questo viaggio gli siano da stimolo verso studi più approfonditi.

    Notizie storiche.

    Euclide di Alessandria pubblicò gli "Elementi" intorno al 300 a. C. Gli Elementi di Euclide sono uno dei primi manuali di geometria piana e spaziale che procedono per via deduttiva da alcuni postulati. La prima edizione a stampa degli Elementi uscì a Venezia nel 1482 e da allora in poi ne sono state pubblicate almeno un migliaio di edizioni. Gli Elementi sono stati usati come libro di testo in quasi tutti i ginnasi fino al secolo scorso.
    Un successo così duraturo nel tempo ha paragoni nella storia della letteratura solo con la Bibbia e con gli altri libri sacri delle grandi religioni.
    Euclide fu autore di un'altra dozzina di trattati su vari argomenti tra cui l'ottica, l'astronomia, la musica, la meccanica. Un noto aneddoto racconta che quando il re Tolomeo I d'Egitto gli chiese una "scorciatoia" per imparare facilmente la geometria ebbe come risposta: "Mio re, non esiste nessuna strada regale che porti alla geometria ";intendendo dire che c'è una unica strada per i re e per i cittadini comuni
    Karl F. Gauss (1777-1855) dimostrò le sue eccezionali doti matematiche fin da fanciullo.Il suo maestro elementare di Braunschweig (Germania), assegnò come compito agli alunni il calcolo della somma di tutti i numeri da
    1 a 100, pensando di tenerli impegnati per qualche ora. Mentre tutti erano impegnati diligentemente a fare i calcoli, Gauss pensò di raggruppare i numeri nel modo seguente:

    1+2+3+...+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51)=101+101+...+101=101x50=5050

    Dopo pochi minuti scrisse quindi il risultato esatto 5050 sulla lavagnetta lasciando allibito l'insegnante. A 21anni ricevette il dottorato dando una dimostrazione del "teorema fondamentale dell'algebra", avendo l'idea di rappresentare i numeri complessi come punti del piano. I contributi di Gauss spaziano dalla teoria dei numeri all'astronomia, dall'analisi matematica alla statistica. La distribuzione "a campana" che si verifica nella maggior parte dei fenomeni naturali è chiamata in suo onore gaussiana. Gauss lavorò quasi tutta la vita presso la città tedesca di G¯ttingen, della quale diresse l'Osservatorio Astronomico. Celebre è il calcolo compiuto da Gauss dell'orbita del pianetino Cerere. Sulla base di poche osservazioni compiute nel 1801, egli fu in grado di predire il ritorno del pianetino con un anno di anticipo, applicando il metodo dei minimi quadrati. Nel 1816 Gauss ricevette l'incarico di dirigere le misurazioni geodetiche del regno di Hannover. Durante le misurazioni calcolò la somma degli angoli interni di un enorme triangolo con vertici tre cime montuose, cercando qualche scostamento dal valore aspettato di 180 (si veda il 6 di queste note). Il valore ottenuto non si discostò da 180 più degli errori sperimentali, lasciando aperta la verifica del grado di applicabilità della geometria euclidea.
    Bernard Riemann (1826-1866) può essere considerato il fondatore della geometria moderna. La sua tesi di abilitazione, discussa a G¯ttingen nel 1854 si intitolava "Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria " (ripubblicata in un classico trattato di M.Spivak sulla geometria differenziale reperibile nelle biblioteche matematiche) ed introduceva il concetto di tensore metrico in uno spazio con un numero qualunque di dimensioni (oggi detto varietà riemanniana). Per la prima e ultima volta nella sua vita, Gauss al termine della lezione andò a stringere la mano al giovane conferenziere e si congratulò per l'opera svolta da un altro matematico. I contributi di Riemann spaziano tra la teoria delle funzioni di variabile complessa, la teoria del potenziale e le equazioni differenziali, con vaste applicazioni alla fisica ed alla tecnologia. Senza gli strumenti matematici introdotti da Riemann, Einstein non avrebbe potuto sviluppare la teoria della relatività. Riemann lavorò anche alla distribuzione dei numeri primi. Una sua congettura sulla funzione zeta, introdotta in questo ambito, rimane a tutt'oggi uno dei più importanti problemi aperti di tutta la matematica.
    Albert Einstein (1879-1955) ha elaborato nel 1905 la teoria della relatività ristretta, mentre era impiegato all'ufficio brevetti di Berna. il suo punto di vista fa perdere ogni carattere di assoluto anche al concetto di "tempo". Gli eventi si svolgono in uno spazio a quattro dimensioni dove la quarta dimensione è appunto il tempo. In particolare due eventi possono essere giudicati contemporanei da un osservatore mentre avvengono in tempi differenti per un altro. Questa teoria spiega il moto di oggetti con velocità vicine alla velocità della luce, mentre per piccole velocità approssima la teoria di Newton (cosi come la geometria del 2 di queste note approssima la geometria euclidea quando v1 è vicino a v2). Nel 1916 Einstein elaborò la relatività generale, secondo la quale lo spazio-tempo è una varietà riemanniana con un tensore metrico che dipende dalla materia. Le traiettorie degli oggetti (ad esempio dei pianeti) sono allora le geodetiche rispetto a questa metrica. Il concetto di curvatura del 6 può essere generalizzato in questa situazione. Spesso si riassume l'idea della teoria con l'espressione suggestiva "la materia incurva lo spazio ". Una delle conseguenze di questa visione è l' "equivalenza" tra materia e energia che è alla base dell'energia nucleare. Einstein ha ricevuto nel 1921 il premio Nobel per la fisica. Egli insegnò a Berlino fino al 1933, quando dovette emigrare negli Stati Uniti in quanto ebreo colpito dalle leggi razziali di Hitler. Negli ultimi anni della sua vita ha svolto una forte attività pacifista per la messa al bando delle armi nucleari.

    LETTURE CONSIGLIATE

    Un'esposizione dettagliata della geometria iperbolica, insieme a molte notizie storiche sul postulato delle parallele si può trovare nel classico
    [Meschkowski] H. Meschowski, Noneuclidean Geometry, Academic Press 1964
    Uno sviluppo rigoroso della teoria dei tensori metrici è contenuto in
    [McCleary] J. Mc Cleary, Geometry from a differentiable viewpoint, Cambridge 1994
    Infine il lettore non dovrebbe perdere il fascino della lettura di
    [Einstein] A. Einstein Autobiografla scientifica e Relatività: esposizione divulgativa in A.Einstein Opere scelte , Boringhieri 1988