Se consideriamo tutti gli elementi di A fissati, tranne
quelli della i-esima riga, otteniamo per restrizione
da det una funzione det(A,i):
Rn®
R dove le variabili sono
ai1, ...,ain.
D1 afferma che questa funzione è lineare per ogni i=1,...,n.
Se la i-esima riga di A ha la forma
Ai=A'i+A''i
e chiamo A' la matrice che si ottiene sostituendo A'i
alla i-esima riga di A e chiamo A'' la matrice che si ottiene
sostituendo A''i alla i-esima riga di A allora
det(A)=det(A')+det(A''). Si noti che se n³ 2 A ¹ A'+A'', quindi D1 supplisce la linearità del determinante ma non afferma la linearità del determinante.
Inoltre se A' è ottenuta da A moltiplicando la i-esima riga per uno scalare c, allora det(A')=cdet(A).