Un insieme G dotato di un'operazione · tale che per ogni g, h Î G si ha g· hÎ si dice un gruppo se

1. Per ogni f, g, h Î G vale (f·g)·h= f· (g·h) proprietà associativa
2. Esiste 1ÎG tale che per ogni g Î G vale 1· g= g·1 =f esistenza dell'elemento neutro
3. Per ogni g Î G esiste g ^-1Î G tale che g ^-1· g= g·g ^-1= 1 esistenza dell'inverso

Questa definizione di gruppo è solo più apparentemente più generale di quella data nel testo. Infatti non è difficile provare che per ogni gruppo G esiste un insieme S tale che G è isomorfo ad un sottogruppo di T(S). La definizione di gruppo nasce storicamente con Galois proprio nell'analisi di particolari T(S).