Siano G, G' gruppi ciascuno con un'operazione che denoteremo per semplicità con lo stesso simbolo ·. Una funzione f : G® G' si dice un omomorfismo tra gruppi se per ogni g,h Î G vale f(g· h)=f(g)· f(h). L'esempio storicamente più importante di omomorfismo tra gruppi è la funzione logaritmo. Infatti la proprietà log(xy)=log(x)+log(y) indica che log è un omomorfismo tra il gruppo dei reali positivi con la moltiplicazione con il gruppo dei reali con l'addizione. Questa proprietà di trasformare il calcolo di prodotti nel calcolo di somme ha permesso per secoli di svolgere velocemente calcoli complessi con l'uso delle tavole dei logaritmi. Oggi i calcolatori elettronici hanno reso obsoleta questa applicazione. La funzione logaritmo rimane comunque fondamentale. Notiamo che log(1)=0, cioè l'elemento neutro viene portato nell'elemento neutro da un omomorfismo di gruppi. Questa proprietà è vera per ogni omomorfismo. Per approfondimenti rimandiamo al corso di Algebra. Un omomorfismo biunivoco si dice un isomorfismo. Due gruppi G e G' si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo da G a G'. Gruppi isomorfi possono essere identificati a tutti gli effetti quando si considera soltanto la struttura astratta di gruppo. La funzione inversa di un isomorfismo f è ancora un isomorfismo, cioè soddisfa la proprietà f -1(g'· h')= f -1(g')· f -1(h') per ogni g',h' Î G'. Ad esempio l'inversa del logaritmo è la funzione esponenziale exp che soddisfa exp(x+y)=exp(x)exp(y).