Nell'esempio avevamo p=0,95, q=0,99. Ci proponiamo di calcolare le potenze Ak
diagonalizzando A. Gli autovalori di A sono 1 e p+q-1 con autovettori corrispondenti
rispettivamente
(
1-q
1-p
) e (
1
-1
)
.
Posto
C =
é ê ê
ê ë
1-q
1
1-p
-1
ù ú ú
ú û
e
D=
é ê ê
ê ë
1
0
0
p+q-1
ù ú ú
ú û
segue l'uguaglianza
A=CDC-1
da cui
Ak=CDkC-1=
1
p+q-2
é ê ê
ê ë
1-q
1
1-p
-1
ù ú ú
ú û
·
é ê ê
ê ë
1
0
0
(p+q-1)k
ù ú ú
ú û
·
é ê ê
ê ë
-1
-1
p-1
1-q
ù ú ú
ú û
É significativo notare che quando k® +¥ allora Ak tende a
1
2-p-q
é ê ê
ê ë
1-q
1-q
1-p
1-p
ù ú ú
ú û
quindi un qualunque vettore colonna
(a, b) tende se moltiplicato per Ak con k grande al vettore colonna
a+b
2-p-q
(1-q, 1-p)
che é un multiplo del primo autovettore.
Questa distribuzione puó essere pensata come il punto di equilibrio del sistema dinamico.
a+b rappresenta la popolazione totale che si distribuisce secondo le proporzioni 1-q e 1-p.
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