Dimostrazione che l'algoritmo di Gram-Schmidt funziona (cioé fornisce l'output richiesto)

v1 é un vettore di lunghezza 1. La dimostrazione é induttiva. Supponiamo di avere dimostrato che vi·vj=dij per 1 i,j s. Allora devo verificare che

vs+1:=[(ws+1-i=1s(ws+1·vi)vi)/(|ws+1-i=1s(ws+1·vi)vi|)]

soddisfa vs+1·vj=0 per j=1,...,s (infatti vs+1 ha lunghezza 1 per costruzione).

É sufficiente dimostrare (guardando il numeratore di vs+1) che



ws+1- s

i=1 
(ws+1·vi)vi
·vj=0

per j=1,...,s. Infatti abbiamo



ws+1- s

i=1 
(ws+1·vi)vi
·vj = ws+1·vj-
s

i=1 
(ws+1·vi)vi
·vj=


=ws+1·vj- s

i=1 
(ws+1·vi)(vi·vj) = ws+1·vj- s

i=1 
(ws+1·vi)dij = ws+1·vj-ws+1·vj=0

Questo termina la dimostrazione.




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On 13 Nov 2001, 11:35.