Dimostrazione che l'algoritmo di Gram-Schmidt funziona
(cioé fornisce l'output richiesto)
v1 é un vettore di lunghezza 1. La dimostrazione
é induttiva. Supponiamo di avere dimostrato che vi·vj=dij per
1 £ i,j £ s. Allora devo verificare che
vs+1:=[(ws+1-åi=1s(ws+1·vi)vi)/(|ws+1-åi=1s(ws+1·vi)vi|)]
soddisfa vs+1·vj=0 per j=1,...,s (infatti
vs+1 ha lunghezza 1 per costruzione).
É sufficiente dimostrare (guardando il numeratore di vs+1)
che
|
|
æ
è
|
ws+1- |
s
å
i=1
|
(ws+1·vi)vi |
ö
ø
|
·vj=0 |
|
per j=1,...,s. Infatti abbiamo
|
|
æ
è
|
ws+1- |
s
å
i=1
|
(ws+1·vi)vi |
ö
ø
|
·vj = ws+1·vj- |
æ
è
|
s
å
i=1
|
(ws+1·vi)vi |
ö
ø
|
·vj= |
|
|
=ws+1·vj- |
s
å
i=1
|
(ws+1·vi)(vi·vj) = ws+1·vj- |
s
å
i=1
|
(ws+1·vi)dij = ws+1·vj-ws+1·vj=0 |
|
Questo termina la dimostrazione.
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version 3.01.
On 13 Nov 2001, 11:35.