Col metro tra le stelle
Questioni matematiche sul moto dei pianeti
Giorgio Ottaviani
Distanze approssimate tra gli oggetti celesti
- raggio della Terra = 6300 Km
- raggio della Luna = 1700 Km
- Terra-Luna = 60 raggi terrestri
- Sole-Terra = 400 volte distanza Terra-Luna = 1 unità astronomica
- Sole-Saturno = 10 volte Sole-Terra
- Sole-Plutone = 40 volte Sole-Terra
- dist. Alfa Centauri = 4,3 anni luce = 270.000 unità astronomiche
- dist. Sirio = 8,7 anni luce = 550.000 unità astronomiche
- raggio galattico = 10.000 anni luce (il Sole è nella periferia
della nostra galassia, la Via Lattea)
- dist. Nebulosa di Andromeda = 2.250.000 anni luce = 225 raggi galattici
Per comprendere meglio le distanze precedenti è utile pensare ad un modello in scala.
- Riduciamo il Sole alle dimensioni di una arancia.
- La Terra è un granello di sabbia a 8m, la Luna dista 2cm dalla Terra.
- Giove è a 80 m.
- Alfa Centauri è a Stoccolma.
- Sirio è nel Golfo Persico.
- Il raggio galattico comprende 10 volte l'orbita della Luna!
- La Nebulosa di Andromeda è poco oltre Giove.
Da: Il bolide
Cielo, e non altro: il cupo cielo, pieno
di grandi stelle; il cielo, in cui sommerso
mi parve quanto mi parea terreno.
E la Terra sentii nellUniverso.
Sentii, fremendo, chè del cielo anchella.
E mi vidi quaggiù piccolo e sperso
errare, tra le stelle, in una stella.
GIOVANNI PASCOLI
La comprensione razionale moderna dell'universo ha portato a delle riflessioni significative
- la Terra è una piccola parte dell'Universo
- l'Universo è in evoluzione, anche le stelle nascono e muoiono
Giotto, soffitto della Cappella degli Scrovegni
Giotto, stella cometa alla Cappella degli Scrovegni.
Michelangelo Conversione di San Paolo.
Van Gogh Caffè di notte, esterno.
Avviciniamoci al metodo scientifico "dal basso". L'uomo è andato davvero sulla Luna? La Terra è piatta?
Nella comprensione razionale dei fenomeni direttamente osservabili è
fondamentale il punto di vista storico, cioè comprendere le difficoltà
che le generazioni e le civiltà precedenti alla nostra hanno incontrato nella descrizione e nella spiegazione di questi fenomeni.
Fenomeni osservabili direttamente:
- Il Sole sorge e tramonta ogni giorno. La durata del giorno e della notte varia in un ciclo di 365 giorni (precisamente è 365 giorni e 6 ore, misurazione di epoca babilonese).
- Le stelle appaiono raggruppate in costellazioni fissate, che ruotano durante la notte attorno alla stella polare.
Foto notturna a lunga esposizione
foto notturna con osservatorio
- Il Sole si muove sullo sfondo delle stelle, basta osservare quali stelle si trovano ogni sera nel punto dove il Sole tramonta (costellazioni dello Zodiaco). La durata di questo ciclo è anch'essa di 365 giorni e 6 ore.
- La Luna compie un ciclo con quattro fasi facilmente distinguibili, la durata del ciclo è di circa 28 giorni. La Luna rivolge verso la Terra sempre la stessa faccia.
La Luna
- Cinque "stelle" si muovono lungo le costellazioni dello Zodiaco con un comportamento
irregolare. Sono i pianeti.
Moto retrogrado
I nove pianeti
Fenomeni che richiedono spostamenti oppure confronti tra misure effettuate in punti diversi
- L'altezza della Stella Polare diminuisce andando verso Nord. Analogamente l'altezza del Sole alla stessa ora cambia in luoghi diversi. Questo fatto è alla base della misurazione del raggio terrestre (Eratostene, 300 a.C.). Può essere ripetuta oggi in diretta da due persone dotate di telefonino.
Fenomeni visibili durante le eclissi
Fenomeni che richiedono osservazioni in lunghi periodi di tempo
- 2500 anni fa l'equinozio di primavera avveniva quando il sole era all'inizio della costellazione di Ariete. Oggi il punto si è spostato prima della costellazione dei Pesci. Questo è il fenomeno della
precessione degli equinozi,
che ha una spiegazione nella dinamica di tutti i corpi rigidi in rotazione, che spostano il loro asse, come le trottole. Il moto dell'asse terrestre fa attraversare tutto lo zodiaco, in un ciclo che dura ben 26000 anni!.
La prima vittima della precessione degli equinozi è l'astrologia.
Infatti i segni zodiacali reali sono spostati oggi di un segno rispetto a quelli che si leggono negli oroscopi. Chi appartiene al segno della Bilancia dovrebbe essere della Vergine, e così via.
Il problema della parallasse
Per misurare in modo indiretto la distanza di un oggetto, una delle tecniche più ingegnose è di misurare gli angoli con cui si vede l'oggetto da due punti diversi. Questa tecnica funziona solo se l'oggetto non è troppo lontano, altrimenti gli angoli sono quasi uguali e indistinguibili nelle misurazioni. Questa misura si chiama misura di parallasse, perché nel caso di oggetti lontani i segmenti che si misurano sono paralleli. I tentativi classici di misurare parallasse delle stelle dettero sempre una parallasse nulla. Perfino ai primi dell'800 Piazzi non trovò nessuna parallasse apprezzabile.
La parallasse della Luna è facilmente misurabile, da punti sufficientemente lontani sulla Terra. Aristarco aveva tentato una misurazione della distanza Terra-Luna misurando l'angolo Sole-Terra-Luna al primo quarto.
Il sistema Sole-Luna-Terra ha quindi una descrizione ragionevolmente semplice. Ci sono 2 moti di rivoluzione e di rotazione. Spiegano i primi fenomeni osservati. La Terra è sferica (la sua ombra sulla Luna è sferica).
La Terra è una sfera che gira attorno al Sole
Invece per la descrizione del moto dei pianeti, il sistema di calcolo antico era basato sulla interessante descrizione degli epicicli, dovuta a Tolomeo ed esposta nell'Almagesto. I moti venivano rappresentati come composizione di moti circolari, che erano facilmente calcolabili mediante la riga e il compasso.
La Terra è immobile al centro dell'Universo. Aristarco aveva proposto nel 300 a.C.
un sistema eliocentrico, abbandonato perché le orbite circolari prevedevano dati in disaccordo con l'esperienza.
esempio di epiciclo
gli epicicli possono spostare il centro dell'orbita (equante)
gli epicicli descrivono il moto ma non le distanze relative
moto descritto da epicicli .
Animazione con gli epicicli.
Copernico introduce nuovamente il sistema eliocentrico.
Ma per calcolare le orbite ha bisogno ancora degli epicicli.
Epicicli secondo Tolomeo
Epicicli secondo Copernico
Confronto tra i dati di Copernico e i dati moderni.
Keplero introduce le ellissi al posto della composizione di moti circolari, ed elimina gli epicicli.
Ogni ellisse ha due fuochi. Le orbite dei pianeti diventano ellissi dove il Sole occupa uno dei due fuochi.
I tre tipi di coniche
manoscritto arabo delle Coniche di Apollonio
(l'originale greco è andato parzialmente perduto)
Keplero
Keplero con riga e compasso
LE TRE LEGGI DI KEPLERO
- Prima legge
I pianeti descrivono orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi.
-
Seconda legge (legge delle aree)
Le aree descritte dal raggio vettore di un pianeta sono proporzionali ai tempi impiegati a percorrerle.
- Terza legge
I quadrati dei tempi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi delle distanze medie dei pianeti dal Sole.
Il sistema copernicano e le leggi di Keplero
permettono di spiegare
il moto retrogrado! Vedi animazione.
L'eccentricità misura lo schiacciamento di un' ellisse. È data dal
rapporto tra la distanza tra i fuochi e l'asse maggiore. Vale zero
se e solo se la conica è una circonferenza.
Eccentricità delle orbite
| Mercurio | 0,206 |
| Venere | 0,007 |
| Terra | 0,017 |
| Marte | 0,093 |
| Giove | 0,048 |
| Saturno | 0,056 |
| Urano | 0,047 |
| Nettuno | 0,009 |
| Plutone | 0,250 |
|
| Cometa di Halley | 0,967 |
Galileo
Il canocchiale di Galileo
Pagina autografa di Galileo sulla scoperta
dei satelliti di Giove.
Movimenti dei satelliti di Giove
La legge di Newton della gravitazione universale permette di dedurre le tre leggi di Keplero come conseguenze.
Pagina autografa di Newton dove si ricava geometricamente la legge delle aree.
La forza di attrazione è la stessa per la mela che casca dall'albero, per l'attrazione Terra-Luna, per i movimenti reciproci tra galassie!
La terza legge di Keplero permette di calcolare le distanze di tuti i pianeti!
Nettuno viene scoperto nel 1846 dal matematico Le Verrier, grazie ad anni di calcoli sulle perturbazioni osservate nel moto di Urano.
Il quadro perfetto della cosmologia newtoniana viene messo in crisi dai lavori di Poincarè, il quale mostra che il sistema costituito da tre corpi sottoposti alla forza di gravitazione non è completamente integrabile. Questo significa che , anche se il sistema è sottoposto ad equazioni deterministiche, è impossibile prevedere il comportamento del sistema per periodi lunghi, perchè la dipendenza del sistema dalle condizioni iniziali prevede la conoscenza di queste condizioni con una approssimazione che supera la precisione delle misure eseguibili. Questi studi hanno dato inizio a una serie di studi ancora attuali sui sitemi caotici, dove è necessario pensare in termini probabilistici.
Un altro "neo" della era costituito dalla precessione del perielio di Mercurio (da non confondersi con la precessione degli equinozi). L'asse maggiore dell'orbita ellittica di Mercurio si sposta di angoli non previsti dalle equazioni di Newton. La spiegazione di questo fenomeno avviene con la relatività di Einstein, che mostra come questo spostamento sia esattamente prevedibile lavorando nello spazio-tempo a quattro dimensioni. Le equazioni di Einstein si riducono a quelle di Newton per piccole scale e quando le velocità degli oggetti coinvolti sono piccole rispetto alla velocità della luce. Il contributo di Einstein diventa fondamentale per la comprensione dell'universo su larga scala, al di fuori del sistema solare.
Einstein in bicicletta
Bibliografia per approfondimenti
- A. Celletti, E. Perozzi; Meccanica celeste, il valzer dei pianeti, Tessere CUEN
- L. Russo; La rivoluzione dimenticata, Feltrinelli
- N. Guicciardini; Newton, un filosofo della natura e il sistema del mondo, I grandi della scienza, ed. Le Scienze
- E. Bellone; Galileo, le opere e i giorni di una mente inquieta, I grandi della scienza, ed. Le Scienze
- W. Shea; Copernico, un rivoluzionario prudente, I grandi della scienza, ed. Le Scienze
- A.M. Lombardi; Keplero, semplici leggi per l'armonia dell'universo, I grandi della scienza, ed. Le Scienze
- U. Bottazzini; Poincarè, il cervello delle scienze razionali, I grandi della scienza, ed. Le Scienze
- S. Bergia; Einstein, quanti e relatività, una svolta nella fisica teorica, I grandi della scienza, ed. Le Scienze
- I. Ekeland, Il calcolo, l'imprevisto
