Prima Sessione Febbraio di Matematica I
Prof. Gloria Papi - Corso B
A.A. 2001/2002 - 31 Gennaio 2002

Compito N. 1

Esercizio 1. Determinare l'area della regione delimitata dalla funzione

$$f(x)= \frac{2x^3-x^2+5x-3}{x^2+3},$$

il suo asintoto obliquo destro e le rette verticali x=0 e x=3.

Esercizio 2. Calcolare l'integrale definito seguente:

$$\int_{0}^{1} x^3 (\frac{1}{\sqrt {x^2+1}})dx.$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \frac {{\rm e}^{2x}-3}{{\rm e}^{\frac{x}{2}}}$$

e disegnarne il grafico.

Esercizio 4. Studiare la derivabilitá nello 0 della funzione seguente:

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{ccl} & \displaystyle \sin x &... ... x\le 0 \\ \\ & \cos x &\qquad x> 0 \end{array} \right.$$

Considerata inoltre la funzione g(y)=y²-y studiare la derivabilitá della funzione composta $g \circ f = g(f(x))$.

Prima Sessione Febbraio di Matematica I
Prof. Gloria Papi - Corso B
A.A. 2001/2002 - 31 Gennaio 2002

Compito N. 2

Esercizio 1. Disegnare e determinare l'area della regione delimitata dalla funzione $f(x)= {\rm e}^x$ , dalla retta x=0 e dalla retta tangente al grafico della stessa funzione $f(x)= {\rm e}^x$ nel punto x=1.

Esercizio 2. Calcolare l'integrale definito seguente:

$$\int _{0}^{\frac{\pi }{4}}e^{\sin x}\cos ^{3}xdx.$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \frac{1-\ln^2 x}{1+\ln^2 x}$$

e disegnarne il grafico.

Esercizio 4. Studiare la derivabilitá nello 0 della funzione seguente:

$$f(x)= \sin \vert x\vert.$$

Considerata inoltre la funzione $g(y)=\cos y$ studiare la derivabilitá della funzione composta $g \circ f = g(f(x))$.