Primo preliminare di Matematica I
Prof. Gloria Papi - Corso B
A.A. 2000/2001 - 7 novembre 2000

Compito N. 1

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_{n\rightarrow +\infty } }(1+\sin \frac{1}{n})^{^{\ln \left( e^{n}+2\right) }}$$

Esercizio 2. Verificare tramite la definizione il seguente limite:

$${\lim_{x\rightarrow -\infty } }e^{^{(x^{2}+1)}}\smallskip =+\infty$$

Esercizio 3. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)=\sqrt{\log _{_{3}}x-\log _{_{\frac{1}{3}}}(x-2)+2}$$

Esercizio 4. Considerata la funzione:

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 2x+3\,\, \hbox{ \,\, se }\,\... ... \,\, \mbox{ se\ }\,\, x>2 \hbox{\ } \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osservare che è fatta da funzioni elementari)

b) determinare la funzione inversa.

Compito N. 2

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_{n\rightarrow +\infty } }(\frac{1+\ln n^{3}}{3\ln n})^{^{\ln \left( n^{5}+1\right) }}$$

Esercizio 2.

$${\lim_{x\rightarrow -\infty }}e^{^{-(x^{4}+8)}}\smallskip =0$$

Esercizio 3. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)=\sqrt{\log _{_{\frac{_{1}}{2}}}(x^{2}+2x-1)+\log _{_{2}}(x^{2}+1)}$$

Esercizio 4. Considerata la funzione

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} -3x+5 \hbox{ \,\, se } \,\, ... ...x{ \,\, se \,\, }x<-1 \,\, \hbox{\ } \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osservare che è fatta da funzioni elementari)

b) determinare la funzione inversa

Compito N. 3

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_ {n\rightarrow +\infty }}\left( \frac{1}{5}\ln (n^{^{3}}+2)-\ln \sqrt[5]{(n^{^{3}}+7)}\right) \sin n$$

Esercizio 2. Verificare tramite la definizione il seguente limite:

$${\lim_ {x\rightarrow 0}}\sqrt{x^{^{2}}+4}=2$$

Esercizio 3. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)=\sqrt{\log _{_{4}}(x^{^{2}}+2)+\log _{_{\frac{1}{4}}}(x^{^{2}}-2)-2}$$

Esercizio 4. Considerata la funzione:

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 4x+4 \,\, \hbox{ se } \,\, x... ... \sqrt{x+1} \,\, \hbox{ se\ }\,\, x>-1 \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osservare che è fatta da funzioni elementari)

b) determinare la funzione inversa

Compito N. 4

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_{n\rightarrow +\infty } }\sin (\frac{4}{n^{2}})\ln (e^{^{n^{2}}}+3)$$

Esercizio 2. Verificare tramite la definizione il seguente limite:

$${\lim_{x\rightarrow 1} }\ln (2x^{^{2}}+x-2)=0$$

Esercizio 3. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)=\left( \log _{_{5}}(x+3)-\log _{_{\frac{1}{5}}}(x+1)+1\right) ^{^{(x+3)}}$$

Esercizio 4.

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x-7 \,\, \hbox{ se }\,\, x\l... ... \sqrt{x}-5 \,\ \hbox{ se\ } \,\, x>4 \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osservare che è fatta da funzioni elementari)

b) determinare la funzione inversa

Compito N. 5

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_{n\rightarrow +\infty }}(n\sin \frac{1}{n^{2}}+\sin \frac{1}{% n})\sqrt{1+n^{^{2}}}$$

Esercizio 2. Verificare tramite la definizione il seguente limite:

$${\lim_{x\rightarrow 0}}\sqrt[3]{x^{^{2}}+8}=2$$

Esercizio 3. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)=\sqrt{\ln (x+2)-\log _{_{\frac{1}{e}}}(x-5)-1}$$

Esercizio 4. Considerata la funzione

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{5}x+1 \,\, \hbox{se... ... e^{x+5}-2 \,\, \hbox{se\ } \,\, x>-5 \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osservare che è fatta da funzioni elementari)

b) determinare la funzione inversa

Compito N. 6

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_{n\rightarrow +\infty } }(1+\frac{1}{^{\ln \left( e^{n}+2\right) }})^{^{n}}$$

Esercizio 2. Verificare tramite la definizione il seguente limite:

$${\lim_{x\rightarrow +\infty } }\ln \frac{1}{x^{2}-3x+2}\smallskip =-\infty$$

Esercizio 3. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)=\sqrt[4]{\log _{_{3}}(x-1)-\log _{_{\frac{1}{3}}}(x-3)+2}$$

Esercizio 4. Considerata la funzione

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 3-2x \,\, \hbox{ se } \,\, x... ...c{7}{4}x^{2} \,\, \hbox{ se } \,\, x>2 \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osserva che è fatta da funzioni elementari)

b) determinare la funzione inversa

Compito N. 7

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_{n\rightarrow +\infty } }(\cos \frac{1}{n})^{^{\ln \left( e^{n}+2\right) }}$$

Esercizio 2. Verificare tramite la definizione il seguente limite:

$${\lim_{x\rightarrow +\infty }}\ln (x^{3}+8)=+\infty$$

Esercizio 3. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)=\sqrt{e^{^{2x-5}}-5e^{^{x-1}}+6}$$

Esercizio 4.

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} -x+\frac{1}{e}-1 \,\, \hbox{... ...e^{-x^{2}} \,\, \hbox{se\ } \,\, x>-1 \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osserva che è fatta da funzioni elementari)

b) determinare la funzione inversa

Compito N. 8

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_{n\rightarrow +\infty }}(\sqrt{\cos \frac{1}{n}})^{^{\ln \left( e^{n}+2\right) }}$$

Esercizio 2. Verificare tramite la definizione il seguente limite:

$${\lim_{x\rightarrow -\infty } }2^{^{x^{3}-3}}\smallskip =0$$

Esercizio 3. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)=\sqrt{\log _{_{3}}\frac{1}{x}-\log _{_{\frac{1}{3}}}\frac{1}{x-2}+2}$$

Esercizio 4. Considerata la funzione

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \ln (x+7)\,\, \hbox{ se } \,... ... x+\ln 8-1 \,\, \hbox{ se\ } \,\, x>1 \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osserva che è fatta da funzioni elementari)

b) determinare la funzione inversa.