Primo preliminare di Matematica I
Prof. Gloria Papi - Corso B
A.A. 2001/2002 - 10 novembre 2001

Compito N. 1

Esercizio 1. Considerata la funzione

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} -5 \,\, \hbox{ \,\, se }\,\,... ... \,\, \mbox{ se\ }\,\, x>2 \hbox{\ } \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osservare che la funzione è fatta da funzioni elementari), b) studiare la continuità nel punto x₁=-3 , c) studiare la derivabilità nel punto x₂=2 , d) considerata la restrizione di f all'insieme x>2 determinare la funzione inversa.

Esercizio 2. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)=\sqrt{ \log _{_{3}} \left( \log _{_{\frac12}} \left(x^2 + x +\frac{1}{2} \right)\right) }$$

Esercizio 3. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_{x\rightarrow +\infty } } \left( \sqrt{x^2+x} - x \right) {\rm e}^{x}$$

Esercizio 4. Data la funzione:

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 1 \,\, \hbox{ \,\, se }\,\, ... ... \,\, \mbox{ se\ }\,\, x>0 \hbox{\ } \end{array} \right.$$

determinare la funzione derivata, specificandone il dominio.

 

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Compito N. 2

Esercizio 1. Considerata la funzione

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} {\rm e}^{-2x} - {\rm e}^{2} ... ... \mbox{ se\ }\,\, x \geq 2 \hbox{\ } \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osservare che la funzione è fatta da funzioni elementari), b) studiare la continuità nel punto x₂=2 , c) studiare la derivabilità nel punto x₁=-1 , d) considerata la restrizione di f all'insieme x < -1 determinare la funzione inversa.

Esercizio 2. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)=\sqrt{ \log (x+2) - \log _{_{\frac{1}{\rm e}}}(x-3) }$$

Esercizio 3. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_{x\rightarrow +\infty } } \frac {\sqrt{x^3} + \displ... ...\left( \frac{2}{\pi} \right)^x} {\log x + 2 \sqrt{x^3 + 1 }}$$

Esercizio 4. Data la funzione:

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1 + \sin ... ...qquad \mbox{ se\ }\,\, x<1 \hbox{\ } \end{array} \right.$$

determinare la funzione derivata, specificandone il dominio.

 

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Compito N. 3

Esercizio 1. Considerata la funzione

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 0 \,\, \hbox{ \,\, se }\,\, ... ...,\, \mbox{ se\ }\,\, x > 0 \hbox{\ } \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osservare che la funzione è fatta da funzioni elementari), b) studiare la continuità nel punto x₁=-2 , c) studiare la derivabilità nel punto x₂=0 , d) considerata la restrizione di f all'insieme x > 0 determinare la funzione inversa.

Esercizio 2. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)= \log \left( 81 - \frac{9^x}{3^{x+1}}\right)+\sqrt {\frac{x-2}{x+3}+4}$$

Esercizio 3. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_{x\rightarrow -3 } } \frac {x^3+6x^2+9x} {x^2 + x -6}$$

Esercizio 4. Data la funzione:

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x^2 \log{\sqr... ...qquad \mbox{ se\ }\,\, x>0 \hbox{\ } \end{array} \right.$$

determinare la funzione derivata, specificandone il dominio.

 

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Compito N. 4

Esercizio 1. Considerata la funzione

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 2 \,\, \hbox{ \,\, se }\,\, ... ...,\, \mbox{ se\ }\,\, x > 4 \hbox{\ } \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osservare che la funzione è fatta da funzioni elementari), b) studiare la continuità nel punto x₁=0 , c) studiare la derivabilità nel punto x₂=4 , d) considerata la restrizione di f all'insieme x >4 determinare la funzione inversa.

Esercizio 2. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)=\sqrt{ - \sqrt{x+5} + x -1 }$$

Esercizio 3. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_{x\rightarrow +\infty } } \left( \sqrt{x-1} - \sqrt x \right) \log x$$

Esercizio 4. Date le funzioni

$$f(y) = \displaystyle \frac{\sqrt y}{y-5} \quad \mbox{e} \quad g(x) = {\rm e}^{3x}$$

considerare la funzione composta $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ e calcolarne la derivata in x₀=0.

 

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Compito N. 5

Esercizio 1. Considerata la funzione

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} -3 \,\, \hbox{ \,\, se }\,\,... ... \,\, \mbox{ se\ }\,\, x >0\hbox{\ } \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osservare che la funzione è fatta da funzioni elementari), b) studiare la continuità nel punto x₁=-10 , c) studiare la derivabilità nel punto x₂=0 , d) considerata la restrizione di f all'insieme x >0 determinare la funzione inversa.

Esercizio 2. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)= \left( \sqrt{x^2 + x -2}-x+3 \right)^x$$

Esercizio 3. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_{x\rightarrow 2 } } \frac {x^3-4x^2+4x} {x^2 +x -6 }$$

Esercizio 4. Date le funzioni

$$f(y) = \displaystyle \frac{y^2}{y+2} \quad \mbox{e} \quad g(x) = {\rm e}^{5 x}$$

considerare la funzione composta $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ e calcolarne la derivata in x₀=0.

 

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Compito N. 6

Esercizio 1. Considerata la funzione

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 0 \,\, \hbox{ \,\, se }\,\, ... ...,\, \mbox{ se\ }\,\, x > 2 \hbox{\ } \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osservare che la funzione è fatta da funzioni elementari), b) studiare la continuità nel punto x₁=1 , c) studiare la derivabilità nel punto x₂=2 , d) considerata la restrizione di f all'insieme x > 2 determinare la funzione inversa.

Esercizio 2. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)= {\sqrt{{ \sqrt{x+3} - (1+ x)} }}$$

Esercizio 3. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_{x\rightarrow -\infty } } \frac {{x^2} + \displaystyle \left( \frac{\pi}{2} \right)^x} { \sqrt{1-x}+3x^2}$$

Esercizio 4. Date le funzioni

$$f(y) = {\rm e}^{3 y} \quad \mbox{e} \quad g(x) = \displaystyle \frac{x}{x+3}$$

considerare la funzione composta $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ e calcolarne la derivata in x₀=0.

 

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Compito N. 7

Esercizio 1. Considerata la funzione

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 2 \,\, \hbox{ \,\, se }\,\, ... ...,\, \mbox{ se\ }\,\, x > 2 \hbox{\ } \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osservare che la funzione è fatta da funzioni elementari), b) studiare la continuità nel punto x₁=0 , c) studiare la derivabilità nel punto x₂=2 , d) considerata la restrizione di f all'insieme x >2 determinare la funzione inversa.

Esercizio 2. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)=\sqrt{ \log_2 (x-2) - \log_{1/2} (x-3) }$$

Esercizio 3. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_{x\rightarrow +\infty } } \left( \sqrt{x^2-x} - x \right) {\rm e}^{-x}$$

Esercizio 4. Date le funzioni

$$f(y) = {\rm e}^{2 y} \quad \mbox{e} \quad g(x) = \displaystyle \frac{x+3}{x}$$

considerare la funzione composta $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ e calcolarne la derivata in x₀=2.

 

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Compito N. 8

Esercizio 1. Considerata la funzione

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} -5 \,\, \hbox{ \,\, se }\,\,... ...,\, \mbox{ se\ }\,\, x > 2 \hbox{\ } \end{array} \right.$$

a) disegnarne il grafico (osservare che la funzione è fatta da funzioni elementari), b) studiare la continuità nel punto x₁=-3 , c) studiare la derivabilità nel punto x₂=2 , d) considerata la restrizione di f all'insieme x >2 determinare la funzione inversa.

Esercizio 2. Determinare il dominio della funzione seguente:

$$f(x)= \log \left( 81 - \frac{9^x}{3^{x+1}}\right)+\sqrt {\frac{x-2}{x+3}+4}$$

Esercizio 3. Calcolare il seguente limite:

$${\lim_{x\rightarrow +\infty } } \frac {{x^3} + \displaystyle \left( \frac{\pi}{4} \right)^x} {\log x + 2 x^3 + x^2 }$$

Esercizio 4. Date le funzioni

$$f(y) = {\rm 2}^{y} \quad \mbox{e} \quad g(x) = \displaystyle \frac{2x+1}{x}$$

considerare la funzione composta $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ e calcolarne la derivata in x₀=1.