Secondo preliminare di Matematica I
Prof. Gloria Papi - Corso B
A.A. 2000/2001 - 12 Dicembre 2000

Compito N. 1

Esercizio 1. Studiare la continuitą della funzione seguente:

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{ccl} & \displaystyle \frac{2 ... ...\ \\ & 2 \cos x-1 &\qquad x\le 0 \end{array} \right. \,$$

Esercizio 2. Studiare la derivabilitą della funzione seguente:

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{ccl} & \displaystyle \sin x &... ... x\le 0 \\ \\ & \cos x &\qquad x> 0 \end{array} \right.$$

Considerata inoltre la funzione g(x)=x²-x studiare la derivabilitą della funzione composta $g \circ f = g(f(x))$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= (x+5) {\rm e}^{-(x+4)}$$

e disegnarne il grafico.

Compito N. 2

Esercizio 1. Studiare la continuitą della funzione seguente:

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{ccl} & \displaystyle \frac{\l... ...{8} \\ \\ & 2 x+1 &\qquad x\le 0 \end{array} \right. \,$$

Esercizio 2. Studiare la derivabilitą della funzione seguente:

$$f(x)= \sin \vert x\vert.$$

Considerata inoltre la funzione $g(x)=\cos x$ studiare la derivabilitą della funzione composta $g \circ f = g(f(x))$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= -(x-2) {\rm e}^{(x-4)}$$

e disegnarne il grafico.

Compito N. 3

Esercizio 1. Studiare la continuitą della funzione seguente:

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{ccl} & \displaystyle \frac{{\... ... \\ & \arcsin x+1 &\qquad x\le 0 \end{array} \right. \,$$

Esercizio 2. Studiare la derivabilitą della funzione seguente:

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{ccl} & \displaystyle x^2 & \... ...le 0 \\ \\ & {\rm e}^x &\qquad x> 0 \end{array} \right.$$

Considerata inoltre la funzione $g(x)=\sin {\pi x}$ studiare la derivabilitą della funzione composta $g \circ f = g(f(x))$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= (-x+1) {\rm e}^{-x+3}$$

e disegnarne il grafico.

Compito N. 4

Esercizio 1. Studiare la continuitą della funzione seguente:

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{ccl} & \displaystyle {({\rm e... ...0<x \\ \\ & 2 x+1 &\qquad x\le 0 \end{array} \right. \,$$

Esercizio 2. Studiare la derivabilitą della funzione seguente:

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{ccl} & \displaystyle x^3 & \qquad x> 0 \\ \\ & 0 &\qquad x\le 0 \end{array} \right.$$

Considerata inoltre la funzione $g(x)=\sqrt {\vert x-1\vert}$ studiare la derivabilitą della funzione composta $g \circ f = g(f(x))$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= (\frac {x}{2}+5) {\rm e}^{-(x+1)}$$

e disegnarne il grafico.

Compito N. 5

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite

$$\lim_{x\to 0} \frac {\sin x - \tan x}{(\cos x -1) \arcsin x}$$

Esercizio 2. Trovare la funzione derivata, il suo dominio e studiare gli eventuali punti angolosi o di cuspide della funzione seguente:

$$f(x)= \vert (x-2) \ln (1+ \vert 2x\vert)\vert.$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \arctan \frac{-1}{3x+2}$$

e disegnarne il grafico.

Compito N. 6

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite:

$$\lim_{x\to 0} \frac {{\rm e}^x-2+\cos x}{x(\cos x-1)}$$

Esercizio 2. Trovare la funzione derivata, il suo dominio e studiare gli eventuali punti angolosi o di cuspide della funzione seguente:

$$f(x)= \vert (x+2) \ln (1- \vert 2x\vert)\vert.$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \arctan \frac{1}{2x-3}.$$

e disegnarne il grafico.

Compito N. 7

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2 \cos x - \pi + 2 x} { \left({\rm e}^{-x} - {\rm e}^{- \frac{\pi}{2}}\right)^3 }.$$

Esercizio 2. Trovare la funzione derivata, il suo dominio e studiare gli eventuali punti angolosi o di cuspide della funzione seguente:

$$f(x)= \vert (x+1) \arctan \vert x-2\vert\vert.$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \ln \left( \frac{{\rm e}^x}{1+{\rm e}^x} \right)$$

e disegnarne il grafico.

Compito N. 8

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(\sin x-1)(2x-\pi)} { \ln^3 (1+\frac{\pi}{2} -x) }.$$

Esercizio 2. Trovare la funzione derivata, il suo dominio e studiare gli eventuali punti angolosi o di cuspide della funzione seguente:

$$f(x)= \vert x \ln (1+\vert x-1\vert)\vert$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \arctan \frac{-2}{5x+2}$$

e disegnarne il grafico.