Terzo preliminare di Matematica I
Prof. Gloria Papi - Corso B
A.A. 2000/2001 - 16 Gennaio 2001

Compito N. 1

Esercizio 1. Disegnare e determinare l'area della regione delimitata dalle funzioni $f(x)= \sin x$ e $g(x) = \sin^2 x,$e compresa fra x=0 e $x=\frac{\pi}{2}$.

Esercizio 2. Calcolare l'integrale indefinito seguente:

$$\int \frac{x-1}{x^2+6x+13}dx.$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \frac {\ln^2 x+ \ln x-1}{\ln^2 x-1}$$

e disegnarne il grafico.

Esercizio 4. Il seguente esercizio è facoltativo.
Determinare i massimi e i minimi della funzione seguente:

$$f(x) = \int_{-1}^x (t {\rm e}^{t^3}) dt .$$

Compito N. 2

Esercizio 1. Disegnare e determinare l'area della regione delimitata dalla funzione $f(x)= \root 3\of x$ e il ramo passante per l'origine di $g(x) = \tan (\frac {\pi x}{4}).$

Esercizio 2. Calcolare l'integrale indefinito seguente:

$$\int \frac{{\rm e}^x+1}{{\rm e}^x-1}dx.$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \frac {\ln^2 x-3}{\sqrt {\ln x}}$$

e disegnarne il grafico.

Esercizio 4. Il seguente esercizio è facoltativo.
Determinare i massimi e i minimi della funzione seguente:

$$f(x) = \int_{-2}^x (t^3 {\rm e}^{\sin t}) dt .$$

Compito N. 3

Esercizio 1. Disegnare e determinare l'area della regione delimitata dalle funzioni $f(x)= \sqrt 2 \cos (\frac {\pi x}{ 4})$ e g(x) =|x|.

Esercizio 2. Calcolare l'integrale indefinito seguente:

$$\int \frac{1}{{\rm e}^{2x}-{\rm e}^x}dx.$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \frac {{\rm e}^{2x}+{\rm e}^x-1}{{\rm e}^{2x}-1}$$

e disegnarne il grafico.

Esercizio 4. Il seguente esercizio è facoltativo.
Determinare i massimi e i minimi della funzione seguente:

$$f(x) = \int_{-4}^x (t {\rm e}^{\cos t}) dt .$$

Compito N. 4

Esercizio 1. Disegnare e determinare l'area della regione delimitata dalle funzioni f(x)= (x-1)² e $g(x) =\frac {1}{(1+x^2)}.$

Esercizio 2. Calcolare l'integrale indefinito seguente:

$$\int \frac{1}{\sqrt {4+2x-x^2}}dx.$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \frac {{\rm e}^{2x}-3}{{\rm e}^{\frac{x}{2}}}$$

e disegnarne il grafico.

Esercizio 4. Il seguente esercizio è facoltativo.
Determinare i massimi e i minimi della funzione seguente:

$$f(x) = \int_{2}^x \left( (t-3) {\rm e}^{t^5}\right) dt .$$

Compito N. 5

Esercizio 1. Disegnare e determinare l'area della regione delimitata dalle funzioni $f(x)= {\rm e}^x$ e g(x) =x+2.

Esercizio 2. Calcolare l'integrale indefinito seguente:

$$\int x^3 (\frac{1}{\sqrt {x^2+1}})dx.$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \frac{1-{\rm e}^{2x}}{1+{\rm e}^{2x}}$$

e disegnarne il grafico.

Esercizio 4. Il seguente esercizio è facoltativo.
Determinare i massimi e i minimi della funzione seguente:

$$f(x) = \int_{5}^x \left( (t^2-3) {\rm e}^{t^5}\right ) dt .$$

Compito N. 6

Esercizio 1. Disegnare e determinare l'area della regione delimitata dalla funzione $f(x)= {\rm e}^x$ , dalla retta x=0 e dalla retta tangente al grafico della stessa funzione $f(x)= {\rm e}^x$ nel punto x=1.

Esercizio 2. Calcolare l'integrale indefinito seguente:

$$\int \frac{1}{x^3+2x^2+2x}dx.$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \frac{1-\ln^2 x}{1+\ln^2 x}$$

e disegnarne il grafico.

Esercizio 4. Il seguente esercizio è facoltativo.
Determinare i massimi e i minimi della funzione seguente:

$$f(x) = \int_{-1}^x \left( (t-5) {\rm e}^{t^3}\right ) dt .$$

Compito N. 7

Esercizio 1. Disegnare e determinare l'area della regione delimitata dalla funzione f(x)= x³ e dalla retta tangente alla stessa funzione f(x)= x³ nel punto x=1. Esercizio 2. Calcolare l'integrale indefinito seguente:

$$\int \frac{x^2 +1}{6x-9x^2}dx.$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \frac{{\rm e}^x}{1-2{\rm e}^x+{\rm e}^{2x}}$$

e disegnarne il grafico.

Esercizio 4. Il seguente esercizio è facoltativo.
Determinare i massimi e i minimi della funzione seguente:

$$f(x) = \int_{-1}^x \left ((t+2) {\rm e}^{\sin t}\right ) dt .$$

Compito N. 8

Esercizio 1. Disegnare e determinare l'area della regione che si trova sotto la funzione $f(x)= \frac{4x}{\pi}$ e sopra la funzione $g(x) =\tan x$, compresa tra x=0 e la prima intersezione tra i grafici delle due funzioni nel primo quadrante.

Esercizio 2. Calcolare l'integrale indefinito seguente:

$$\int \frac{x +1}{\sqrt {9-x^2}}dx.$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \frac{\ln x}{1-2\ln x+\ln^2 x}$$

e disegnarne il grafico.

Esercizio 4. Il seguente esercizio è facoltativo.
Determinare i massimi e i minimi della funzione seguente:

$$f(x) = \int_{4}^x \left ((t^2+1) {\rm e}^{\sin t}\right) dt .$$