Terzo preliminare di Matematica I
Prof. Gloria Papi - Corso B
A.A. 2001/2002 - 15 gennaio 2002

Compito N. 1

Esercizio 1. Disegnare e determinare l'area della regione di piano delimitata dalle funzioni $y= \sqrt {x+2},$ $y = \frac{1}{x+2}$ e la retta verticale x=2.

Esercizio 2. Calcolare l'integrale definito seguente:

$$\int _{0}^{\frac{\pi }{4}} \sin x \cos x \ln (1+\sin x) dx$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente

$$f(x)= \frac {x+1}{\ln (x+1)-1}$$

e disegnarne il grafico.

 

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Compito N. 2

Esercizio 1. Disegnare e determinare l'area della regione delimitata dalle funzioni x= y²-2, $x ={\rm e}^ y,$ e compresa fra le retta orizzontali y=-1 e y=1.

Esercizio 2. Calcolare l'integrale definito seguente:

$$\int_{1}^{2} \frac{{\rm e}^{2x}+1}{{\rm e}^{2x}-1}dx.$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \ln (x^2+2x-3)$$

e disegnarne il grafico.

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Compito N. 3

Esercizio 1. Disegnare e determinare l'area della regione delimitata dalle funzioni $f(x)= \sqrt 2 \cos (\frac {\pi x}{ 4})$ e g(x) =|x|.

Esercizio 2. Calcolare l'integrale definito seguente:

$$\int _{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{2\cos x}{\exp (2 \sin x)+\exp (-\sin x)}dx .$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)= \log (\frac{1}{e^{x}-e^{-x}})$$

e disegnarne il grafico.

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Compito N. 4

Esercizio 1. Disegnare e determinare l'area della regione delimitata dalla funzione $f(x)= \arctan x,$ dalla retta tangente al suo grafico nel punto x₀=1 e l'asse delle y.

Esercizio 2. Calcolare l'integrale definito seguente:

$$\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} \frac{2\sin x}{\exp (\cos x)-\exp (-\cos x)}dx.$$

Esercizio 3. Studiare la funzione seguente:

$$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-6x+5}}$$

e disegnarne il grafico.