CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE

Corso di “Matematica” - Corso B - Prof. G. Papi .

A.A. 2008-2009 – Laurea Triennale

EX DM 509/99

Testo di teoria: P. Marcellini - C. Sbordone, Elementi di Calcolo, Liguori Editore 2004 (Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea). La vecchia edizione può essere utilizzata con l’aggiunta del "Capitolo zero".

Testo di esercizi: P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore, Primo Volume (parte prima e parte seconda ).

Altri testi di esercizi e/o di consultazione:

P. Boieri G.Chiti, Precorso di matematica, Zanichelli. E. Giusti, Analisi matematica I, Boringhieri. T.M.Apostol, Calcolo, Vol I. Boringhieri.

E. Batschelet, Introduzione alla matematica per biologi, Piccin.

F. Rosso -P. Vlacci, Istituzioni di Matematica: problemi svolti, esercizi e test, Pitagora.

PROGRAMMA del corso “Matematica B”

1. Preliminari: i numeri e le funzioni elementari

Struttura del sistema dei numeri reali. Cenni di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi, razionali. Numeri irrazionali. Concetto di funzione reale di variabile reale e sua rappresentazione cartesiana. Funzioni invertibili. Funzioni monotòne. Proprietà e grafici delle funzioni elementari (funzioni lineari, valore assoluto, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni razionali, funzioni trigonometriche). Metodi di risoluzione per equazioni e disequazioni.

(Capitolo1).

2. Successioni, limiti e funzioni continue.

Le successioni, il loro comportamento, classificazione. Definizione di limite (finito o infinito) di una successione. Operazioni con i limiti. Teorema del limite della somma (con dimostrazione), prodotto (senza dimostrazione), quoziente (senza dimostrazione). Forme indeterminate. Teorema dei carabinieri (con dimostrazione). Successioni limitate. Teorema del prodotto di una successione limitata per una infinitesima (con dimostrazione). Limiti notevoli. Successioni monotòne. Il numero e. Definizione di limite (finito o infinito) di funzioni. Operazioni con i limiti di funzioni. Teorema sul limite della somma, del prodotto, del quoziente (tutti senza dimostrazione). Limiti notevoli. Funzioni continue: definizioni, esempi (di funzioni continue e discontinue), proprietà (continuità della somma...). Classificazione delle discontinuità. Teorema della permanenza del segno (con dimostrazione). Teorema dell’esistenza degli zeri (senza dimostrazione). Massimi e minimi assoluti. Teorema di Weierstrass (senza dimostrazione). Secondo teorema dei valori intermedi (con dimostrazione).

(Capitolo 5 -Capitolo 6).

3. Derivate.

Rapporto incrementale. Definizione di derivata. Significato geometrico della derivata. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione. La derivabilità implica la continuità (con dimostrazione). Derivata della somma, del prodotto, del quoziente (senza dimostrazione). Derivazione delle funzioni composte (con dimostrazione). Derivate delle funzioni elementari. Le funzioni trigonometriche inverse. Derivazione di funzioni inverse (con dimostrazione). Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (con dimostrazione). Teoremi di Rolle e di Lagrange (con dimostrazione). Funzioni crescenti e decrescenti. Criterio di monotonia (con dimostrazione). Funzioni convesse e concave. Criterio di convessità (con dimostrazione). Flessi. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Studio del grafico di una funzione.

(Capitolo9- Capitolo 10).

4. Integrali.

Il metodo di Archimede per il calcolo dell'area del cerchio. Integrali definiti. Proprietà. Teorema della media (con dimostrazione). Primitive. Caratterizzazione delle primitive in un intervallo (con dimostrazione). Definizione e proprietà degli integrali indefiniti. Funzione integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale (con dimostrazione). Formula fondamentale del Calcolo Integrale (con dimostrazione). Metodi di integrazione indefinita per parti, per sostituzione. Divisione tra polinomi. Funzioni razionali. Sostituzioni trigonometriche. Formula di integrazione per sostituzione e per parti per gli integrali definiti.

(Capitolo 12- Capitolo 13).

5. Equazioni Differenziali e Applicazioni in dinamica di popolazioni

Equazioni lineari del primo ordine con formula risolutiva (con dimostrazione). Equazioni a Variabili Separabili con formula risolutiva (con dimostrazione). Equazioni di Bernoulli (con dimostrazione).

(Capitolo 15).