A.A. 2009-2010 – Laurea Triennale-
Nuovo Ordinamento-
EX DM 270/04
Corso di “Matematica”, Corso B (lettere G – P)
Prof. Gloria Papi.
Testo di teoria:
P. Marcellini-C.
Sbordone, Calcolo, Liguori Editore
Testo di esercizi:
P. Marcellini-C.
Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore, Primo Volume (parte prima e parte
seconda).
Altri testi di esercizi
e/o di consultazione:
P. Boieri-G.Chiti,
Precorso di matematica, Zanichelli.
E. Batschelet,
Introduzione alla matematica per biologi, Piccin.
F. Rosso -P. Vlacci,
Istituzioni di Matematica: problemi svolti, Esercizi e test, Pitagora.
M. Abate, Matematica
e statistica, Mc. Graw-Hill
Gli
esami consistono in una prova scritta a test con risposte multiple
PROGRAMMA del corso “Matematica”
Struttura del sistema
dei numeri reali. Cenni di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi,
razionali. Numeri irrazionali. Concetto di funzione reale di variabile reale e sua rappresentazione cartesiana. Funzioni
invertibili. Funzioni monotone. Proprietà e grafici
delle funzioni elementari (funzioni lineari, valore assoluto, potenze,
esponenziali, logaritmi, funzioni razionali, funzioni trigonometriche). Metodi
di risoluzione per equazioni e disequazioni. (Capitolo 1).
2. Successioni, limiti e
funzioni continue.
Le
successioni, il loro comportamento, classificazione. Definizione di limite
(finito o infinito) di una successione. Teorema dell'unicità del limite (con
dimostrazione). Operazioni con i limiti. Teorema del limite
della somma, prodotto (con dimostrazione) e quoziente (senza dimostrazione).
Forme indeterminate. Teorema dei carabinieri. Successioni limitate. Teorema del
prodotto di una successione limitata per una infinitesima
(con dimostrazione). Limiti notevoli.
Successioni
monotone. Teorema sulle successioni monotone (senza dimostrazione). Monotonia e
limitatezza della successione che definisce il numero e (senza dimostrazione). Definizione di limite (finito o infinito)
di funzioni. Operazioni con i limiti di funzioni. Teorema sul
limite della somma, del prodotto e del quoziente (senza dimostrazione).
Limiti notevoli. Funzioni continue: definizioni, esempi (di funzioni continue e discontinue), proprietà (continuità della
somma).Classificazione delle discontinuità. Teorema di Weierstrass
(senza dimostrazione). Teorema dei valori intermedi. (Capitolo 7
-Capitolo 8).
3. Derivate.
Rapporto
incrementale. Definizione di derivata. Significato geometrico della derivata.
Equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Continuità delle
funzioni derivabili. Derivata della somma, del prodotto(con dimostrazione) del
quoziente. Derivazione delle funzioni composte. Derivate delle funzioni
elementari. Le funzioni trigonometriche inverse. Derivazione di funzioni
inverse. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat
(con dimostrazione). Teoremi di Rolle e di Lagrange (con dimostrazione). Funzioni crescenti e
decrescenti. Criterio di monotonia (con dimostrazione). Funzioni convesse e
concave. Criterio di convessità (con dimostrazione). Flessi. Teorema di de l'Hopital (senza dimostrazione). Asintoti orizzontali,
verticali, obliqui. Studio del grafico di una funzione. (Capitolo 10 -
Capitolo 11).
4. Integrali.
Il
metodo di Archimede per il calcolo dell'area del
cerchio. Il metodo di Archimede per il calcolo
dell'area del settore di parabola (facoltativo). Integrali definiti. Proprietà.
Teorema della media (con dimostrazione). Primitive. Caratterizzazione
delle primitive in un intervallo (con dimostrazione). Definizione e proprietà
degli integrali indefiniti. Funzione integrale. Teorema fondamentale del
Calcolo Integrale (con dimostrazione). Formula fondamentale del Calcolo
Integrale (con dimostrazione). Metodi di integrazione
indefinita per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Divisione
tra polinomi. Funzioni razionali. Le funzioni iperboliche. Sostituzioni
trigonometriche Sostituzioni iperboliche. Formula di integrazione per sostituzione e per parti per gli
integrali definiti. (Capitolo 13- Capitolo 15).
5. Equazioni Differenziali e Applicazioni
in dinamica di popolazioni
Equazioni lineari. Metodo di risoluzione delle equazioni lineari. Metodo di risoluzione delle equazioni di Bernoulli. Equazioni a Variabili Separabili. Crescita di una popolazione isolata. Crescita di una popolazione non isolata. Diffusione di una infezione. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Interazioni fra popolazioni e sistemi lineari.
(Capitolo 18- Capitolo 19 -
Capitolo 20).
6. Probabilità e Statistica
Cenni di calcolo
combinatorio
Introduzione alla
probabilità: probabilità a priori, probabilità
condizionata, teorema di Bayes. Statistica
descrittiva: Istogrammi, Media, Varianza, Mediana,
Moda, Retta di regressione. Variabili
Aleatorie discrete: la distribuzione di Bernoulli
Variabili Aleatorie
continue: la distribuzione Normale
(Materiale dato a lezione).
Si
fa riferimento ai numeri dei paragrafi del libro: P.Marcellini-C.Sbordone,
Calcolo, Liguori
editore