CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE

Corso di “Matematica” - Corso B (lettere M-Z) - Prof. G. Papi .

A.A. 2015-2016 – Laurea Triennale – 12 crediti

Testo di teoria: P. Marcellini - C. Sbordone, Elementi di Calcolo, Liguori Editore. P. Marcellini - C. Sbordone, Calcolo (solo la parte sulle equazioni del secondo ordine), Liguori Editore.

Testo di esercizi: P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore, Primo Volume (parte prima e parte seconda ).

PROGRAMMA del corso “Matematica B”

1. Preliminari: i numeri e le funzioni elementari

Struttura del sistema dei numeri reali. Cenni di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi, razionali. Numeri irrazionali. Concetto di funzione reale di variabile reale e sua rappresentazione cartesiana. Funzioni invertibili. Funzioni monotòne. Proprietà e grafici delle funzioni elementari (funzioni lineari, valore assoluto, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni razionali, funzioni trigonometriche). Metodi di risoluzione per equazioni e disequazioni.

(Capitolo1).

2. Limiti e funzioni continue.

Definizione di limite (finito o infinito) di una funzione. Operazioni con i limiti. Teorema del limite della somma (con dimostrazione), prodotto (senza dimostrazione), quoziente (senza dimostrazione). Forme indeterminate. Teorema dei carabinieri (senza dimostrazione). Funzioni limitate. Teorema del prodotto di una funzione limitata per una infinitesima (con dimostrazione). Limiti notevoli. Funzioni monotone monotòne. Il numero e. Funzioni continue: definizioni, esempi (di funzioni continue e discontinue), proprietà (continuità della somma...). Classificazione delle discontinuità. Teorema della permanenza del segno (con dimostrazione). Teorema dell’esistenza degli zeri (senza dimostrazione). Massimi e minimi assoluti. Teorema di Weierstrass (senza dimostrazione). Secondo teorema dei valori intermedi (con dimostrazione).

(Capitolo 6).

3. Derivate.

Rapporto incrementale. Definizione di derivata. Significato geometrico della derivata. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione. La derivabilità implica la continuità (con dimostrazione). Derivata della somma, del prodotto, del quoziente (senza dimostrazione). Derivazione delle funzioni composte (con dimostrazione). Derivate delle funzioni elementari. Le funzioni trigonometriche inverse. Derivazione di funzioni inverse (con dimostrazione). Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (con dimostrazione). Teoremi di Rolle (con dimostrazione) Teorema di Lagrange (con dimostrazione). Funzioni crescenti e decrescenti. Criterio di monotonia (con dimostrazione). Funzioni convesse e concave. Criterio di convessità (con dimostrazione). Flessi. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Studio del grafico di una funzione.

(Capitolo9- Capitolo 10).

4. Integrali.

Integrali definiti. Metodo di esaustione. Proprietà. Teorema della media (con dimostrazione). Primitive. Caratterizzazione delle primitive in un intervallo (con dimostrazione). Definizione e proprietà degli integrali indefiniti. Funzione integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale (con dimostrazione). Formula fondamentale del Calcolo Integrale (con dimostrazione). Metodi di integrazione indefinita per parti, per sostituzione. Divisione tra polinomi. Funzioni razionali. Formula di integrazione per sostituzione e per parti per gli integrali definiti.

Calcolo di aree.

(Capitolo 12- Capitolo 13).

5. Equazioni Differenziali del primo ordine in forma normale

Equazioni lineari del primo ordine con formula risolutiva (con dimostrazione).

Problema di Cauchy con formula risolutiva (con dimostrazione). Equazioni a Variabili Separabili con formula risolutiva (con dimostrazione). Equazioni di Bernoulli (con dimostrazione).

(Capitolo 15).

6. Equazioni Differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti

Proprietà generali. Equazioni omogenee.

(Capitolo 19 di “Calcolo”- paragrafo 162)

7. Introduzione al Calcolo delle probabilità e statistica (i riferimenti sono dalle dispense del Prof. Ricci visibili sulla pagina web)

Calcolo combinatorio (Capitolo 2 e appunti Prof. Cupini). Probabilità: introduzione, relazioni elementari, probabilità condizionata, teorema di Bayes (con dimostrazione), test diagnostici. (Capitolo 3). Variabili Aleatorie: variabili aleatorie discrete, variabili aleatorie continue, valor medio di una variabile aleatoria, varianza di una variabile aleatoria. (Capitolo 3 fino al paragrafo 6 esclusa la disuguaglianza di Cebisev). Distribuzioni discrete: distribuzione binomiale (Capitolo 5 paragrafo 1 escluso “multinomiale – geometrica – ipergeometrica”). Distribuzioni Continue: distribuzione Uniforme su un intervallo, distribuzione Normale con metodo di standardizzazione e uso delle tavole (Capitolo 6 paragrafo 1 escluso “Teorema centrale del limite”).

ESERCIZI COME DA APPUNTI

Ogni informazione verrà comunicata sulla pagina web