\documentclass[a4paper]{article}
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\begin{document}

\title{Esercizi foglio 1: coordinate, somma, coniugato, modulo}

\maketitle

\begin{enumerate}
\item I vertici $A$, $B$ e $C$ di un triangolo sono rappresentati dai numeri complessi $z_1=1-2i$ , $z_2=4+2i$  e $z_3=1+6i$  . Dimostrare che il triangolo ABC è isoscele e determinare il perimetro e l'area.
\item Provare le seguenti uguaglianze:
\begin{enumerate}
\item $|z|^2= z \bar{z}$;
\item $|zw|=|z||w|$;
\item (disuguaglianza triangolare) $|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|$
\end{enumerate}

\item Descrivere e rappresentare i luoghi geometrici dei punti del piano rappresentati dalle seguenti equazioni e disequazioni:
\begin{enumerate}
\item $|z|=2$;
\item $|z-i|=1$.
\item $|z-2|+ |z+2|= 6$
\item $|z| \leq 1$
\item $|z-1| \geq 3$
\end{enumerate}
\item  Disegnare le figure del piano rappresentate dalle seguenti equazioni:
\begin{enumerate}
\item $z \bar{z}= 9$
\item  $z + \bar{z}=6$
\item $\bar{z}= z+ 6i$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\title{Esercizi foglio 2: operazioni e trasformazioni nel piano}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item Rappresentare la simmetria assiale rispetto all'asse immaginario.
\item Rappresentare nel piano complesso le successive potenze di $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}$, $\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
\item Dire che cosa diventa il triangolo di vertici $0$, $1-i$, $1+i$ quando si compie la trasformazione $z \rightarrow (2+2i)z$
\item (Più difficile) Dimostrare che l'applicazione $ z \rightarrow u\bar{z}$, dove $u$ è un numero complesso di modulo 1, rappresenta una simmetria assiale, con asse passante per l'origine.
\end{enumerate}
\newpage
\title{Esercizi foglio 3: trigonometria e equazioni di secondo grado}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item Calcolare $cos( 2\alpha)$,$sin( 2\alpha)$,$cos( 3\alpha)$ e $sin(3\alpha)$ utilizzando i ragoionamenti fatti sulla moltiplicazione fra complessi.
\item Porre in forma trigonometrica i seguenti numeri: $1+i$, $\sqrt{3}-i$, rappresentarli nel piano complesso e farne il prodotto.
\item Verificare l'uguaglianza:
\begin{equation} (cos (\frac{\pi}{3}) + i sin(\frac{\pi}{3}))^6 + (cos(\frac{5}{6}\pi)+i sin(\frac{5}{6}\pi))^3=2i \end{equation}
\item Calcolare $(2+ 2i)^6, \sqrt[3]{1+i}, \sqrt[5]{3+i\sqrt{3}}$
\item Risolvere le seguenti equazioni:
\begin{enumerate}
\item $x^2+20=0$;
\item $x^2+3x+9=0$;
\item $x^4-1=0$;
\item $x^3+27=0$.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{document}
