Programma per l'esame di Equazioni della Fisica Matematica

L'esame verterà sullo studio delle equazioni delle onde, del calore e
di Laplace.

Equazione delle onde:
Derivazione dell'equazione della corda vibrante.
Equazione unidimensionale: problema di Cauchy (corda infinita).
Soluzione di d'Alembert: zone di influenza dei dati iniziali.
Problema della corda finita: soluzione via riflessioni e cenni
al metodo di Fourier.
L'equazione in dimensione tre: medie sferiche e soluzione per 
il problema di Cauchy in tre dimensioni: formula di Kirchhoff.

Equazione del Calore:
Derivazione dell'equazione dalla legge di conservazione.
Principio di massimo e unicità del problema di Dirichlet in
un dominio limitato.
Soluzione del problema di Cauchy e formula di Poisson.
Unicità "condizionata" del problema di Cauchy.

Equazione di laplace
Principio di massimo debole e unicità del problema di Dirichlet in
un dominio limitato.
Condizione necessaria per l'esistenza della soluzione del
problema di Neumann.
Lemma di Hopf e "unicità" del problema di Neumann.
Proprietà della media per le funzioni armoniche.
Principio di massimo forte e conseguenze.
Teorema di Liouville.
Diseguaglianza e teoremi di Harnack.
Metodo di Perron per l'esistenza della soluzione del 
problema di Dirichlet.