\documentclass{beamer}
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\title{La geometria della riga  e compasso}
\author{Progetto ``Lauree Scientifiche'' A.S. 2010/2011}
\date{23/11/2010}
\institute{Universit\`a degli studi di Firenze}
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\begin{document}
\frame{\titlepage}
\section{Introduzione}
%\frame{\tableofcontents}
\subsection{Analisi a priori}
\begin{frame}[t]{Valore dell'attivit\`a:} 
\begin{block}{Valore storico} \pause
Le costruzioni con riga e compasso sono un argomento centrale della matematica greca. \pause

\noindent
I primi 3 postulati degli ``Elementi'' di Euclide stabiliscono l'esistenza della riga non graduata e del compasso e
dettano le regole con cui si possono usare. \pause
Per i matematici greci i problemi geometrici si presentavano nella forma
costruttiva. \pause

\noindent
La $1^{\underline{a}}$ proposizione degli Elementi di Euclide ci presenta subito un
problema costruttivo. \pause
\begin{center}\textbf{''Sopra un segmento costruire un triangolo equilatero''}\end{center}

\noindent
 Ogni costruzione con riga e
compasso equivale  a una dimostrazione dell'esistenza dell'oggetto
costruito a partire dai postulati di Euclide.
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{}
\begin{block}{Valore teorico}
\begin{itemize}
\item I matematici greci ed i successivi si sono posti complessi problemi di costruzione con
riga e compasso che solo nel $\overline{\underline{XIX}}$ secolo, grazie alla teoria dei gruppi sviluppata da
Galois, Abel ed altri si sono rivelati irrisolvibili. \pause
\item  La riga ed il compasso sono strumenti ideali con caratteristiche ben definite con cui
risolvere dei problemi: permettono di costruire le figure geometriche in modo teoricamente perfetto e rigoroso all'interno di un dato
sistema di regole, e bene si adattano alla struttura formalmente deduttiva della
matematica nonch\'e all'idea (platonica) della sua bellezza estetica.
\end{itemize}
\end{block}
\begin{block}{Valore pratico}
\begin{itemize} \pause
\item Sono un'ottima palestra per imparare a comprendere e a dimostrare  teoremi \pause
\item Sono un'attivit\`a che necessita sia di creativit\`a  che di rigore (il rispetto delle regole del gioco) per raggiungere un obiettivo.
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}[t]{I postulati della geometria euclidea} 
\begin{itemize}
\item Per due punti distinti qualsiasi \`e possibile tracciare una ed una
sola retta. \pause
\item Si pu\`o prolungare un segmento indefinitamente. \pause
\item Dato un punto e una lunghezza, \`e possibile tracciare un cerchio
che ha per centro quel punto e per raggio quella lunghezza. \pause
\item Tutti gli angoli retti sono uguali. \pause
\item Data una retta ed un punto esterno ad essa, \`e possibile tracciare
per quel punto una ed una sola parallela alla retta data. \pause
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Le ''regole'' del gioco}
\begin{frame}{LE REGOLE DEL GIOCO} \pause
Eseguire una costruzione con riga e compasso significa tracciare rette, semirette,
segmenti e circonferenze servendosi esclusivamente di una riga e di un compasso
ideali. \pause
\begin{itemize}
\item \textbf{La riga ideale permette di tracciare la retta passante per due qualunque punti distinti assegnati} \pause
\item \textbf{Il compasso ideale (compasso ''molle'') permette di tracciare la circonferenza con centro assegnato e passante per un punto assegnato}.
Non \`e difficile dimostrare (basta saper tracciare la parallela ad una retta per un dato punto) che il ``compasso molle'' permette di costruire solo e soltanto le stesse costruzioni del \textbf{''compasso rigido'' (si pu\`o tracciare la circonferenza con centro assegnato e con raggio assegnato)}.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{}
Le operazioni grafiche di base permesse dagli ``Elementi'' sono esclusivamente le seguenti: \pause
\begin{itemize}
\item dati $2$ punti, tracciare il segmento o la semiretta o la retta passante per
essi (per estensione, prolungare un segmento) \newline \textbf{($I$ e $II$ POSTULATO)} \pause
\item dato un punto $O$ ed una lunghezza $AB$, tracciare una circonferenza di centro
$O$ e raggio $AB$; \textbf{($III$ POSTULATO)} \pause
\item determinare il punto di intersezione di due rette; \pause
\item determinare i punti d'intersezione di una circonferenza con una retta; \pause
\item determinare i punti d'intersezione di due circonferenze.
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Peculiarit\`a didattiche}
\frame{
  \transsplitverticalin
  \frametitle{Pecularit\`a didattiche dell'attivit\`a} \pause
\begin{itemize}
\item Sviluppo di induzione, fantasia, creativit\`a con relativamente pochi requisiti \pause
\item Attenersi alle regole del gioco significa seguire un ragionamento rigoroso senza la necessit\`a di sviluppare un sistema ipotetico-deduttivo \pause
\item Attivit\`a che si presta al lavoro di gruppo (tutti disegnano dopo avere discusso insieme) \pause
\item Valorizzazione di alcuni studenti che sono abili nel disegno ma tradizionalmente deboli in matematica \pause
\item Il successo di una costruzione o la validit\`a di un risultato possono essere ''toccati con mano''
\end{itemize}}
\begin{frame}{}
\begin{itemize}
\item Possibilit\`a di utilizzo di mezzi informatici (GeoGebra,Wims) \pause
\item Punto di contatto della matematica con una attivit\`a manuale \pause
\item Possibilit\`a di collegamenti storici \pause
\item Le attivit\`a proposte intervengono in diversi punti dei programmi ed a diversi livelli di difficolt\`a, non possono essere svolte come unit\`a didattica a s\'e.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[t]{} 
\begin{block}{Livello scolastico}
$2^o$ e $3^o$ anno della scuola secondaria superiore \end{block} \pause
\begin{block}{Prerequisiti}
Conoscenza delle nozioni basilari della geometria e padronanza  dei principali concetti algebrici, quali calcolo letterale e risoluzione di equazioni di primo e secondo grado. \end{block} \pause
\begin{block}{Numero incontri}
8 lezioni da 2 ore ciascuna
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{}
\begin{block}{Suddivisione delle ore di lezione}
\begin{itemize}
\item Lezioni frontali (4-6 ore) \pause
\item Attivit\`a a gruppi, sia manuali che informatiche (6-8 ore) \pause
\item Esercitazioni (2 ore) \pause
\item Prova finale (2 ore)
\end{itemize}
\end{block}
\begin{block}{Struttura logico-cronologica delle lezioni}\pause
\begin{itemize}
\item  Introduzione storica (lezione dialogata) \pause
\item  Inquadramento della problematica \pause
\item Attivit\`a di costruzione a gruppi \pause
\item Discussione tra i vari gruppi di alcune costruzioni significative
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}[t]{Introduzione storica (lezione dialogata)} \pause
\begin{itemize}
\item La geometria della riga e compasso come argomento centrale della matematica greca ( nella matematica greca i problemi di geometria  si presentano in una forma costruttiva) \pause
\item Richiami alla geometria euclidea e ai suoi postulati
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[t]{Inquadramento della problematica}  \pause
\begin{itemize}
\item Definizione delle regole del gioco. \pause
\item Primi esempi: la riga e compasso come strumenti di calcolo, con i quali effettuare le $4$ operazioni fondamentali e l'estrazione di radice quadrata ( i numeri vengono identificati con i segmenti di lunghezza corrispondente). \pause
\item Aspetti positivi della geometria della riga e compasso: cosa si pu\`o costruire ( da costruzioni semplici a costruzioni elaborate, come il problema di Apollonio sulle circonferenze, oppure il poligono regolare di 17 lati) \pause
\item Limiti delle costruzioni riga e compasso: cosa non si pu\`o fare (trisecazione dell'angolo, duplicazione del cubo, quadratura del cerchio)
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}[t]{Attivit\`a a gruppi}
\begin{itemize}
\item Suddivisione della classe in gruppi \pause
\item Risoluzione di problemi assegnati dal docente, sia ricorrendo al disegno manuale che all'utilizzo di GeoGebra e di Wims, seguendo una traccia assegnata ed evidenziando passo per passo quali sono i risultati utilizzati nella costruzione ( ad es. il teorema di Pitagora,di Talete, ecc., oppure costruzioni viste in precedenza) \pause
\item Discussione in classe circa la validit\`a delle soluzioni fornite e la possibilit\`a di soluzioni alternative pi\`u veloci ed efficaci.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Costruzioni da proporre ai ragazzi}
\begin{block}{Prima possibilit\`a: suddivisione per argomenti}
\begin{itemize}
\item Rette, segmenti e angoli
\item Triangoli
\item Poligoni
\item Circonferenze e poligoni regolari
\item Coniche ( per il terzo anno )
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}[t]{}
\begin{block}{Seconda possiblit\`a: suddivisione per livello di difficolt\`a}
Seguendo lo schema di Wims, potremmo dividere l'attivit\`a in
\begin{itemize}
\item Costruzioni di base
\item Costruzioni facili
\item Costruzioni diverse
\item Costruzioni interessanti
\item Costruzioni impossibili
\end{itemize}
\end{block}
La suddivisione dovrebbe corrispondere a $5$ lezione da $2$ ore ciascuna.
\end{frame}
\section{LEZIONI}
\subsection{Prima lezione}
\begin{frame}[t]{Programma Prima Lezione}
\begin{itemize} 
\item Inquadramento storico \pause
\item Definizione delle regole del gioco \pause
\item Suddivisione della classe in gruppi \pause
\item Prime costruzioni: Rette perpendicolari e rette parallele ad una retta data passanti per un punto assegnato, bisettrice di un angolo, angoli complementari e supplementari di un angolo dato.
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Seconda lezione}
\begin{frame}[t]{Programma Seconda Lezione}
\begin{itemize} 
\item Riga e compasso come strumenti di calcolo: legame tra algebra e geometria.  \pause
\item Operazioni fondamentali: somme e sottrazioni, prodotti e rapporti, estrazioni di radici. Dividere un segmento in sezione aurea. \pause
\item Prime costruzioni sui triangoli: (costruzione di  un triangolo dati lati e/o angoli noti)
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Terza lezione}
\begin{frame}[t]{Programma Terza Lezione}
\begin{itemize} 
\item Altre costruzioni sui triangoli: punti notevoli (baricentro, ortocentro, ecc...), triangoli inscritti e circoscritti ad una circonferenza, triangoli simili ed equivalenti a poligoni dati. \pause
\item Costruzioni sui poligoni dati lati e/o angoli.
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Quarta lezione}
\begin{frame}[t]{Programma Quarta Lezione}
\begin{itemize} 
\item Poligoni simili e poligoni equivalenti \pause
\item Prime costruzioni sulla circonferenza: rette e circonferenze tangenti ad una data circonferenza 
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Quinta lezione}
\begin{frame}[t]{Programma Quinta Lezione}
\begin{itemize} 
\item Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza \pause
\item Costruzione dei poligoni regolari.
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Sesta lezione}
\begin{frame}[t]{Programma Sesta Lezione}
\begin{itemize} 
\item Costruzione delle coniche con riga e compasso \pause
\item Esercitazioni
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Settima lezione}
\begin{frame}[t]{Programma Settima Lezione}
\begin{itemize}
\item Limiti delle costruzioni riga e compasso: cenni ai problemi impossibili \pause
\item Esercitazioni
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Ottava lezione}
\begin{frame}[t]{Programma Ottava Lezione}
Prova Finale
\end{frame}
\end{document} 