\documentclass{beamer}
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\title{La geometria della riga  e compasso: Primo incontro}
\author{Progetto ``Lauree Scientifiche'' A.S. 2010/2011}
\date{23/11/2010}
\institute{Universit\`a degli Studi di Firenze}
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\begin{document}
\frame{\titlepage}
\section{Introduzione}
\subsection{Perch\'e la riga e il compasso?}
\begin{frame}{}
Quando si devono rappresentare disegni geometrici, \`e importante stabilire quali strumenti utilizzare.
Tutto ci\`o non deve trarre in inganno: in matematica gli strumenti non servono soltanto a disegnare \dots
\end{frame}
\begin{frame}{Una scelta attribuita a Platone}
''Sono state date varie spiegazioni circa la restrizione di usare nelle
costruzioni soltanto riga e compasso. La linea retta e la circonferenza erano, secondo i Greci,
figure fondamentali e la riga e il compasso sono i loro analoghi fisici \dots ''\pause

\noindent ''\`E stata anche avanzata come spiegazione l'ipotesi che Platone
si sia opposto all'uso di altri strumenti meccanici perch\'e essi avevano
attinenza pi\`u con il mondo dei sensi che
con quello delle idee''(M. Kline, 1991).
\end{frame} 
\begin{frame}{ripresa da Aristotele \dots}
''Dato che le dimostrazioni sono
universali, e che gli oggetti universali non possono venir
percepiti, \`e evidente che non sar\`a possibile una conoscenza
dimostrativa attraverso la sensazione. La sensazione si
rivolge infatti necessariamente
all'oggetto singolo, mentre la scienza consiste nel
render noto l'oggetto universale'' (Aristotele).
 \end{frame}
 \begin{frame}{Gli ''Elementi'' di Euclide}
 Per i matematici greci i problemi geometrici si presentavano nella forma
costruttiva.
La $1^{\underline{a}}$ proposizione degli Elementi di Euclide ci presenta subito un
problema costruttivo. \pause
\begin{center}\textbf{''Sopra un segmento costruire un triangolo equilatero''}\end{center} \pause
Ogni costruzione con riga e
compasso equivale  a una dimostrazione dell'esistenza dell'oggetto
costruito a partire dai postulati di Euclide.
\end{frame}
\begin{frame}{I postulati di Euclide}
I primi 3 postulati degli ``Elementi'' di Euclide stabiliscono l'esistenza della riga non graduata e del compasso e
dettano le regole con cui si possono usare. \pause
\begin{block}{}
\begin{enumerate}
\item Per due punti distinti qualsiasi \`e possibile tracciare una ed una
sola retta. \pause
\item Si pu\`o prolungare un segmento indefinitamente. \pause
\item Dato un punto e una lunghezza, \`e possibile tracciare un cerchio
che ha per centro quel punto e per raggio quella lunghezza. \pause
\item Tutti gli angoli retti sono uguali. \pause
\item Data una retta ed un punto esterno ad essa, \`e possibile tracciare
per quel punto una ed una sola parallela alla retta data. \pause
\end{enumerate}
\end{block}
\end{frame}
\subsection{Le ''regole'' del gioco}
\begin{frame}{LE REGOLE DEL GIOCO}
Eseguire una costruzione con riga e compasso significa tracciare rette, semirette,
segmenti e circonferenze servendosi esclusivamente di una riga e di un compasso
ideali. \pause
\begin{block}{}
\begin{itemize}
\item La riga ideale permette di tracciare la retta passante per due qualunque punti distinti assegnati \pause
\item Il compasso ideale (compasso ''euclideo'') permette di tracciare la circonferenza con centro assegnato e passante per un punto assegnato.
Non \`e difficile dimostrare (basta saper tracciare la parallela ad una retta per un dato punto) che tutto ci\`o che \`e costruibile con riga e compasso ideale \`e costruibile con riga e compasso ''moderno''  (si pu\`o tracciare la circonferenza con centro assegnato e con raggio assegnato).
 e viceversa.\end{itemize} \end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Problema costruibile con riga e compasso}
Un problema si dice \textbf{risolubile con riga e compasso}
quando pu\`o essere ricondotto ad una sequenza finita di operazioni scelte tra le (I-V), cioè:
\begin{block}{}
\begin{enumerate} \item dati due punti, costruire la retta passante per essi;
\item dato un punto ed un segmento, trovare la
circonferenza che ha quel punto come centro e quel
segmento come raggio;
\item date due rette, trovarne (se esiste) il punto comune;
\item date una retta ed una circonferenza, trovarne (se
esistono) i punti comuni;
\item date due circonferenze, trovarne (se esistono) i punti
comuni.
\end{enumerate}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Il passaggio dalla Geometria all'Algebra}
\begin{block}{Le estensioni algebriche}
\begin{itemize}
\item
Ci riferiamo a un sistema cartesiano rispetto a cui \`e
dato un segmento (ad esempio unitario). \pause
\item 
Consideriamo le coordinate degli elementi costruibili,
a partire da esso, con riga e compasso; mediante
addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione
otteniamo tutti i numeri del campo $\mathbb{Q}$: tutti i punti
con coordinate razionali. \pause
\item 
Mediante l’estrazione di radice quadrata, possiamo
costruire anche altri punti: ad esempio, $\sqrt{2}$ \pause
\item Ricorrendo ancora alle operazioni razionali,
costruiamo quindi tutti i numeri $p+q\sqrt{2}$ ($p, q \in \mathbb{Q}$)
ottenendo un campo esteso, più vasto di $\mathbb{Q}$.
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}{Somma e differenza di numeri}
\begin{minipage}{1.3\textwidth}%
\center{\includegraphics[width=\textwidth]{Somma.png}}
\end{minipage} \hspace{0.2cm}
\end{frame}
\begin{frame}{Prodotto di numeri}
\begin{minipage}{0.8\textwidth}%
\center{\includegraphics[width=\textwidth]{Prodotto.jpg}}
\end{minipage} \hspace{0.2cm} 

\noindent
Per la similtudine dei triangoli $DAE$ e $BAC$, si ha che $\overline{AE}=ab$
\end{frame}
\begin{frame}{Rapporto  di numeri}
\begin{minipage}{\textwidth}%
\center{\includegraphics[width=\textwidth]{Rapporto.jpg}}
\end{minipage} \hspace{0.2cm} 

\noindent
Per la similitudine dei triangoli $EAD$ e $CAB$, si ha che $\overline{AE}=a/b$
\end{frame}
\begin{frame}{Radice quadrata di 2}
\begin{minipage}{1.1\textwidth}%
\center{\includegraphics[width=\textwidth]{radice2.jpg}}
\end{minipage} \hspace{0.2cm} 
\end{frame}


\end{document}