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\begin{document}
\newtheorem*{teo}{Teorema}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{cor}{Corollario}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{cost}{Costruzione}
\newtheorem{exe}{Esercizio}
\newtheorem{esempio}{Esempio}
\newtheorem{problema}{Problema}
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\hyphenation{pre-sen-te-re-mo pos-sia-mo ab-bia-mo pi-ta-go-ri-ca no-stro ve-ri-fi-ca-re pri-mi-ti-va con-se-cu-ti-vi esem-pio ot-te-nia-mo con-si-de-ra-to o-ri-gi-na-ria-men-te os-ser-va-zio-ne so-lu-zio-ne con-si-de-ra-zio-ne li-be-ra per-met-ta de-ter-mi-nia-mo ana-liz-zan-do cer-chia-mo po-si-ti-vo ra-mi-fi-ca-zio-ni ge-ne-ra-te no-tia-mo si-gni-fi-ca-to re-la-ti-va dob-bia-mo pri-mi-ti-ve ge-ne-ra-le}

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\section*{Costruzioni}
\subsection*{Costruzioni di rette, segmenti ed angoli}


\begin{cost}

Condurre la perpendicolare ad un retta data, passante per un punto della retta stessa.

\end{cost}

\noindent
Consideriamo la retta $ r $ ed un punto $ A $ appartenente ad essa. Quello che vogliamo tracciare è la retta perpendicolare ad $ r $ passante per $ A .$ 
\begin{itemize}
\item[-] Centriamo il compasso in $ A $ e tracciamo due archi che taglino la retta $ r $ in due punti $ B $ e $C.$ $ B $ e $ C $ hanno quindi la stessa distanza da $ P .$
\item[-] Puntiamo adesso il compasso in $ B$ e disegnamo un arco di circonferenza con raggio $ R = \overline{BC} .$ 
\item[-] Spostiamo poi il compasso in $ C $ e tracciamo un arco sempre di raggio $ R , $ che intersechi nei punti $ D $ e $ E $ il precedente arco. 
\end{itemize} 
\noindent
Il punto $ E $ è equidistante da $ B $ e da $ C .$ Ma anche il punto $ D $ è equidistante da $ B $ e $ C.$ I punti $ D $ e $ E $ appertengono quindi entrambi all'asse del segmento $ \overline{BC} .$ L'asse del segmento è quindi proprio la retta passante per $ D $ e $ E ,$ la quale quindi risulta perpendicolare alla retta $ r $ e passa per $ P .$  

\begin{minipage}{\textwidth}%
\center{\includegraphics[width=\textwidth]{Problema1.jpg}}
\end{minipage} \hspace{0.2cm}

\begin{cost}

Condurre la perpendicolare ad una retta data, passante per un punto esterno ad essa.


\end{cost}


Sia $ r $ una retta generica e $ P $ un punto esterno ad essa.


\begin{itemize}

\item[-] Centriamo il compasso in $ P $ e tracciamo un arco di raggio abbastanza grande da incontrare $ r $ in due punti distinti $ A $ e $ B .$

\item[-] Puntiamo ora il compasso in $ A $ e tracciamo un arco con raggio $ R ,$ che sia `visivamente' maggiore della metà del segmento $AB .$ 

\item[-] Centriamo ora in $ B $ e tracciamo un altro arco con lo stesso raggio $ R ,$ che incontri nel punto $ C $ il precedente arco.

\end{itemize}
\noindent
Il punto $ C $ è equidistante da $ A $ e $ B $ e lo stesso valeva per il punto $ P .$ La retta per $ P $ e $ C $ è quindi l'asse di $AB $ e perciò risulta perpendicolare alla retta $ r .$


\begin{minipage}{\textwidth}%
\center{\includegraphics[width=\textwidth]{Problema2.jpg}}
\end{minipage} \hspace{0.2cm}


\begin{cost}

Dividere un segmento in due parti uguali.


\end{cost}  

Dato un segmento $AB ,$ dobbiamo quindi determinare il suo punto medio.

\begin{itemize}

\item[-] Centriamo in $ A $ con raggio $ R $ maggiore della metà di $ AB $ e tracciamo un arco.
\item[-] Centriamo in $ B $ e tracciamo un altro arco con lo stesso raggio $ R ,$ che incontri il precedente in due punti $ C $ e $ D .$



\end{itemize}
\noindent
Sia $ C $ che $ D $ risultano equidistanti da $ A $ e da $ B .$ La retta per $ A $ e $ B $ è quindi l'asse di $ AB $ e il suo punto di incontro $ M $ con il segmento è proprio il punto medio di $AB$ .  


\begin{cost}


Dividere un angolo in due parti uguali.

\end{cost}


Consideriamo un angolo $ \widehat{ABC} .$

\begin{itemize}

\item[-] Centriamo il compasso in $ B $ e tracciamo un arco di raggio $R=\overline{AB}$ che intersechi i lati dell'angolo nei punti $ A $ ed $ D .$

\item[-] Teniamo il compasso con apertura fissata $ R ,$  e tracciamo, prima centrando il compasso in $ A $ e poi in $ D ,$ due archi  che si intercano in $B$ e in $E$.

\item[-] Essendo $E$ equidistante da $A$ e da $D$, $BE$ in comune e i lati $AB$ e $AC$ congruenti, i triangoli $ABE$ e $BCE$ sono congruenti, per cui gli angoli $\hat{DBE}$ e $\hat{EBA}$ risultano congruenti.

\end{itemize}

\begin{minipage}{0.8\textwidth}%
\center{\includegraphics[width=\textwidth]{Problema4.jpg}}
\end{minipage} \hspace{0.2cm}

\begin{cost}\label{5}

Dato un angolo e il vertice costruire un angolo uguale a un angolo dato

\end{cost}


Consideriamo un angolo $ A\widehat{B}C .$ e la semiretta di centro $D$ passante  per $E$.

\begin{itemize}

\item[-]Si scelga un punto $F$ sulla semiretta $AB$ e si considerino  due circonferenze: quella di centro $A$ e raggio $\overline{AF}$ e quella  di centro $D$ e raggio $\overline{AF}$. La prima intersecherà la semiretta $AC$ nel punto $G$, mentre la seconda intersecherà la semiretta $DE$ nel punto $H$

\item[-] Si disegni la circonferenza di centro $H$ e raggio $\overline{FG}$: essa intersecherà la circonferenza di centro $H$ in due punti, ne  scegliamo uno e lo chiamiamo $I$

\item[-] Per costruzione $\overline{AG}=\overline{AF}=\overline{DH}=\overline{DI}$ e $\overline{FG}=\overline{IH}$, dunque i due triangoli $GAF$ e $HDI$ sono congruenti, e dunque $ \widehat{ABC}= \widehat{HDI}$

\end{itemize}

\begin{minipage}{0.8\textwidth}%
\center{\includegraphics[width=\textwidth]{Problema5.jpg}}
\end{minipage} \hspace{0.2cm}

\begin{cost}\label{6}

Dato una retta e un punto esterno ad essa, condurre la parallela alla retta passante per il punto.

\end{cost}


Si consideri  la retta $r$ e il punto $C$
\begin{itemize}

\item[-] Si scelgano due punti distinti $A$ e $B$ qualsiasi su $r$, si tracci il segmento $BC$ e la circonferenza di centro $A$ e raggio $\overline{BC}$

\item[-] Si tracci la circonferenza di centro $C$ e raggio $\overline{AB}$
\item[-] Le due circonferenze si intersecano in due punti: si consideri il punto di intersezione $E$ che sta dalla parte opposta  di $B$ rispetto alla retta passante per $A$ e $C$
\item[-] Per costruzione $\overline{AB}=\overline{CE}$ e $\overline{AE}=\overline{BC}$ e dunque il quadrilatero $ABCE$ risulta un parallelogramma
\item[-] La retta contenente i punti $C$ ed $E$ è dunque parallela alla retta data.

\end{itemize}
\begin{minipage}{0.8\textwidth}%
\center{\includegraphics[width=\textwidth]{Problema6.jpg}}
\end{minipage} \hspace{0.2cm}

\begin{cost}

Dati due segmenti di lunghezza $a$ e $b$, con $a \geq b$, trovarne il medio proporzionale.

\end{cost}


Si consideri  la retta $r$
\begin{itemize}

\item[-] Si scelgano due punti distinti $A$ e $B$, in modo che $\overline{AB}=b$
\item[-] Sulla stessa retta si considerino i punti $D$ ed $C$ in modo che $D$ si trovi dalla stessa parte di $A$ rispetto $B$ e $\overline{DB}=a$ e in modo che $C$ si trovi dalla stessa parte di $B$ rispetto ad $A$ e $\overline{AC}=a$
\item[-] Si considerino la circonferenze di centro rispettivamente $C$ e $D$ e raggio uguale a $a$, che si intersecano neo punti $E$ ed $E'$
\item[-] Per costruzione, i triangoli  $BDE$ e $ACE$ sono isosceli e congruenti in quanto il triangolo $AEB$ è isoscele per costruzione.
\item[-] I triangoli isosceli $EAB$ e $ECA$ sono simili per il primo criterio di similitudine, avendo in comune l'angolo in $A$.
\item[-] $$\overline{AC}: \overline{EA}= \overline{EA}: \overline{AB}$$
Per costruzione $\overline{AC}=a$, $\overline{AB}=b$ e dunque $\overline{EA}$ risulta il segmento cercato.
\end{itemize}
\begin{minipage}{\textwidth}%
\center{\includegraphics[width=\textwidth]{Medioproporzionale.jpg}}
\end{minipage} \hspace{0.2cm}
\begin{cost}

Dividere il segmento in sezione aurea ( ossia in due parti tale che il quadrato della parte maggiore sia equivalente al rettangolo dell'intero segmento e della parte minore)
\end{cost}
\noindent
Si deve trovare un punto $C$ su $AB$ tale che se $AC > CB$, si abbia che $AB:AC=AC:CB$
Si consideri  il segmento $AB$
\begin{itemize}
\item[-] Si costruisca un segmento $OB$ perpendicolare ad $AB$ e lungo la metà;
\item[-] Si consideri il segmento $AO$ e su di esso un segmento $OE$ di lunghezza pari a $OB$; 
\item[-] Su $AB$ si prenda un segmento $AC$ di lunghezza pari ad $AE$. Il segmento $AC$ è il medio proporzionale fra $AB$ e $CB$.
\item[- ]
Basta osservare che se $AB=l$ e $AC=x$, si deve avere che $l: x= x: (l-x)$, ossia $l^2-lx=x^2$, ossia $x$ è soluzione dell'equazione $x^2+lx-l^2=0$, che ha per soluzione $x_1=\frac{l(\sqrt{5}-1)}{2}$
Il triangolo $ABO$ è rettangolo per costruzione e  i suoi cateti misurano $l$ e $l/2$.
Dunque $\overline{AO}=  \frac{\sqrt{5}l}{2}$. Poichè $\overline{OE}=\overline{OB}=l/2$, abbiamo che $\overline{AC}=\overline{AE}=\frac{\sqrt{5}}{2}- \frac{l}{2}=\frac{l(\sqrt{5}-1)}{2}$
\end{itemize}

\begin{minipage}{\textwidth}%
\center{\includegraphics[width=\textwidth]{Sezioneaurea.jpg}}
\end{minipage} \hspace{0.2cm}
\subsection*{Esercizi}
\begin{enumerate}
\item	Costruire l'angolo complementare e supplementare di un angolo dato
\item	Conoscendo un lato di un angolo e la sua bisettrice, costruire l'altro lato.
\item *Per corda di un angolo si intende un segmento che termina ai due lati dell'angolo.  Dato un angolo $\widehat{BAC}$  e una corda $BC$ di esso, segnare un'altra corda dello stesso angolo che risulti divisa in due parti  uguali da $BC$. ( Suggerimento: si consideri il punto comune alla bisettrice e alla corda $BC$ e in questo punto si segni la perpendicolare alla bisettrice \dots)
\item	* Per un punto dato $P$, condurre una retta che forma angoli uguali con due rette incidenti in un punto $C$  (Suggerimento: la retta richiesta forma con le due rette date un triangolo isoscele, di cui la retta richiesta ne è base, e si ricordino le proprietà della bisettrice dell'angolo  al vertice di un triangolo isoscele.)
\item	*Date due rette $a$ e $b$ costruire un segmento che abbia le estremità su queste due rette, sia parallelo a una retta data $c$  e sia uguale ad un segmento dato $m$  (Suggerimento: si conduca da un punto qualsiasi  $A$ di $a$ la parallela a $c$ e su di essa si prenda il segmento $AB$, dalla parte di $b$,  uguale al segmento dato $m$, quindi dal punto $B$ si faccia uscire la parallela ad $a$,\dots)
\item *Date due rette $a$ e $b$ costruire un segmento che abbia le estremità su queste due rette, sia uguale ad un segmento dato $m$ e formi con $a$ un angolo dato $\alpha$  (Suggerimento: dedurre questo problema da quello precedente \dots)
\item	Dati due segmenti di lunghezza a, b , determinare con riga e compasso i segmenti  di lunghezza:
\begin{itemize}
\item	 $a+b$, $a-b$
\item	$a\cdot b$, $a/b$
\item $\sqrt{a}$
\end{itemize}
\item	Dividere un segmento in un dato numero di parti uguali
\item	Dati tre segmenti di lunghezza $a$, $b$ e $c$, determinare il quarto proporzionale (ossia un segmento di lunghezza $x$, dove  $a:b=c:x$)
\item	Dati due segmenti  di lunghezza $a$ e $b$, trovare il terzo proporzionale (ossia un segmento di lunghezza $x$, dove  $a:b=b:x$)
\end{enumerate}
\end{document}

