Programma

Numeri complessi.
R^n , C^n, matrici, somma di matrici e prodotto fra uno scalare e una matrice.
Matrici quadrate, triangolari, diagonali, simmetriche, antisimmetriche, identitÓ. Trasposta di una matrice e sue proprietÓ.
Prodotto scalare standard in R^n, norma; loro proprietÓ.
Prodotto di matrici e sue proprietÓ.
Definizione di spazi vettoriali. ProprietÓ degli spazi vettoriali. Definizione di sottospazi, combinazioni lineari, insiemi di vettori linearmente indipendenti, generatori, basi. L'insieme delle combinazioni lineari di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale e' un sottospazio vettoriale. Un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale contiene lo zero dello spazio vettoriale.
M(m n ,R) Ŕ uno spazio vettoriale
Matrici a scalini, operazioni elementari di riga. Facendo operazioni elementari di riga sulla matrice associata ad un sisitema lineare, non si altera l' insieme delle soluzioni. Come si risolve un sistema lineare la cui matrice completa Ŕ a scalini Come si risolve un sistema lineare qualsiasi. Le soluzioni di un sistema lineare costituiscono un sottospazio vettoriale se e solo se il sistema lineare Ŕ omogeneo. Le soluzioni di un sistema lineare si ottengono sommando ad una soluzione particolare del sitema lineare tutte le soluzioni del sitema lineare omogeneo associato (teorema di struttura). Un sistema lineare omogeneo ha sempre la soluzione nulla. Un sistema lineare omogeneo ha una soluzione non nulla se il numero delle equazioni Ŕ minore strettamente del numero delle incognite. Un sistema lineare non ha soluzione se e solo se riducendo a scalini la matrice completa c'Ŕ un pivot nell'ultima colonna.
In uno spazio vettoriale la cardinalitÓ di un insieme di generatori Ŕ maggiore o uguale alla cardinalitÓ di un insieme di vettori lin. indipendenti. Due basi di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalitÓ. Dimensione di M(m n R) Esercizi su come trovare una base dati dei generatori. Estrazione di una base da un insieme di generatori. Completamento ad una base di un insieme di vettori linearmente indipendenti. La dimensione di un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale Ŕ minore o uguale della dimensione dello spazio vettoriale.
Applicazioni lineari, nucleo e immagine. L'immagine di un sottospazio vettoriale S dello spazio di partenza tramite un'applicazione lineare f Ŕ un sottospazio vettoriale dello spazio di arrivo e l'immmagine di un insieme di generatori per S e' un insieme di generatori per f(S). Relazione fondamentale fra la dimensione del nucleo e la dimensione dell'immagine di un'applicazione lineare. Se due applicazioni lineari coincidono su una base allora sono uguali. Ogni applicazione lineare da R^n in R^m Ŕ data da una matrice.
Definizione di determinante. ProprietÓ del determinante (senza dimostrazione).
Spazio generato dalle righe di una matrice, spazi generato dalle colonne. Rango per righe e rango per colonne. Facendo operazioni elementari di colonna non si altera lo spazio generato dalle colonne; facendo operazioni elementari di riga non si altera lo spazio generato dalle righe. Rango per righe di una matrice a scalini. La dimensione dell'immagine di f_A Ŕ uguale al rango per colonne di A. La dimensione del Ker f_A = n - rango per righe di A per qualsiasi matrice A m x n. Il rango per righe e il rango per colonne sono uguali. Teorema di RouchÚ-Capelli
Matrici invertibili. Legame fra rango, determinante e matrici invertibili. Calcolo del rango utilizzando i determinanti delle sottomatrici (senza dimostrazione).
Diagonalizzabilita', autovalori e autovettori.