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Misurazioni a distanza nella Pratica della geometria di Cristofano di Gherardo di Dino

Misurazioni a distanza nel rifacimento di Cristofano di Gherardo di Dino della Pratica geometriae di Leonardo Pisano
Osservazioni e suggerimenti per un utilizzo nelle classi

| Il testo   | L'autore   | Osservazioni   | Le misurazioni a distanza   | Caso 1   | Caso 2   | Caso 3   | Un fuori programma   | Caso 4   | Caso 5   | Caso 6   | Caso 7   | Caso 8   | Bibliografia   | Appendice testi   | Appendice attività  |

È noto che il termine "geometria" viene dal greco e significa "misurazione della terra". Secondo lo storico greco Erodoto la geometria sarebbe nata in Egitto, dove le periodiche inondazioni del Nilo rendevano necessario poter ristabilire di volta in volta confini dei campi e relativi tributi da versare. Se da una parte proprio i Greci hanno lasciato un'impronta indelebile sui metodi e sulla sistematizzazione astratta di questa scienza, parallelamente si è nei secoli conservato e sviluppato l'aspetto più legato alle origini di scienza nata per rispondere a esigenze pratiche, la "geometria pratica", appunto.

Nell'Europa medioevale e rinascimentale sono esigenze commerciali e belliche che danno impulso alla tradizione della geometria "sul campo". Così ad esempio rudimenti di geometria entrano a far parte dell'insegnamento delle scuole d'abaco, dove essenzialmente si impara il "far di conto", cioè primi elementi di calcolo con il sistema indo-arabico e applicazioni a operazioni commerciali. Con notevoli semplificazioni e qualche integrazione il punto di riferimento fondamentale è il noto testo di Leonardo Pisano ¹, il Liber abaci. Per la geometria, che costituisce una parte minore dei programmi, è ancora un'opera di Leonardo a fare da modello, la meno nota Pratica geometriae (1223).

La lettura diretta di questi testi presenta non poche difficoltà: dalla lingua - il latino - alla vastità e complessità degli argomenti. E tali difficoltà erano avvertite anche dai lettori dell'epoca. Si assiste dunque a un fiorire di volgarizzazioni e riduzioni compiute spesso dai maestri d'abaco stessi per i propri allievi.

Una delle volgarizzazioni della Pratica geometriae è quella compiuta da Cristofano di Gherardo di Dino più di due secoli dopo l'opera originale e che ci apprestiamo a considerare.

Il testo

Il testo della Pratica della geometria di Cristofano viene pubblicato da Gino Arrighi nel 1966 nella collana Testimonianze di Storia della Scienza a cura della della Domus Galilaeana di Pisa. L'edizione dell'Arrighi è basata sul manoscritto n. 2186 della Biblioteca Riccardiana di Firenze, un codice di 132 carte recante il titolo Aritmetica e geometria sul costolo della rilegatura.

Il codice raccoglie scritti diversi (tra cui un Libbro d'anbaco alle cc. 9-78). La Pratica della geometria inizia a c. 92 con le seguenti parole:

Qui incomincia la pratica della geometria di M.o Lunardo Pisano
Qualunque persona volesse studiare l'arte della geometria ...

Si conclude a c. 125 con la nota

Explicit Pratiche geometrie

Riferimenti precedenti e seguenti fanno attribuire il manoscritto a Cristofano e datarlo attorno al 1443.

L'autore

Cristofano di Gherardo di Dino era cittadino pisano. Notizie biografiche su di lui si desumono da alcune annotazioni contenute nel manoscritto e da altre conservate nel catasto di Pisa ². Qui si trovano anche varie notizie sulla composizione e sulla situazione economica della famiglia di Cristofano. Da una nota di suo pugno - riportata dall'Arrighi - si ricava che negli anni 1428-29, all'età di ventinove anni, "sansa sapere fare nessuno mestieri", con moglie e figlio di pochi mesi, si trovava a bottega presso un parente per il quale curava le riscossioni. A tredici anni più tardi risale la stesura del manoscritto matematico ed in questo intervallo di tempo, secondo una supposizione che l'Arrighi avanza senza però il supporto di alcun documento, Cristofano potrebbe aver conseguito il grado di maestro d'abaco.

Aprendo La pratica della geometria: qualche osservazione introduttiva

La pratica della geometria s'inizia con una parte introduttiva a sua volta divisa in due sezioni; a queste seguono sette parti di cui l'ultima è dedicata alle misurazioni a distanza di altezze e lunghezze.

La geometria viene indicata da Cristofano come "l'arte di misurare terreni o altre cose simile"; l'inizio dell'opera è infatti il seguente:

Qualunqua persona volesse studiare l'arte della geometria, cioè di misurare terreni o altre cose simile, gli è di necessità sapere che l'arte tracta sopra 5 cose. ³

Questi sono: punto, linea, angolo, superficie e corpo, cioè più o meno i nostri enti fondamentali. La loro descrizione insieme alla descrizione di alcune figure geometriche costituisce la prima sezione della parte introduttiva.

Dalla lettura di queste prime pagine emergono due caratteri contrapposti: una tendenza a una sistemazione astratta nel solco della tradizione della geometria classica e un continuo richiamo a oggetti e problemi concreti secondo la geometria proprio come misurazione di "terreni o altre cose simile". Segnaliamo ad esempio che a conclusione della descrizione degli enti fondamentali troviamo quella del "corpo": alla spiegazione dell'oggetto tridimensionale come "cosa che si è lungha e anpia e alta", si aggiunge "come sono le case, e' possi e lle colonne e simile cose". Il cerchio, poco più avanti, è indicato come "canpo ritondo"; il quadrato, oltre a essere definito come quadrilatero con i lati uguali e gli angoli retti, viene associato a "lo scacchierj da giocare a scacchi" e similmente per i rettangoli si rimanda a "li taulieri da giocare a taule" e per i rombi alla "forma di bricchaldello".

Anche da qui si possono trarre vari spunti didattici. Dare un'occhiata all'inizio dell'opera di cui si approfondirà una parte può prima di tutto aiutare a collocarla storicamente, a contestualizzare le parti successive, ad avere una presentazione diretta - anche solo a livello di impressione data dal primo impatto - di cosa sia la "geometria pratica" e di come si trattasse, si esprimesse e si insegnasse l'argomento ai tempi di Cristofano.

Volendo poi soffermarsi e approfondire, oltre a osservazioni interdisciplinari (storiche, linguistiche, tecniche ...) le pagine di Cristofano nel loro alternare tra teoria e pratica possono servire per impostare un lavoro analogo di collegamento e confronto con la "geometria teorica" studiata dai ragazzi e la realtà di quasi sei secoli dopo. Una lettura guidata può suggerire di trovare differenze e identità nella terminologia usata, di trovare oggetti rappresentativi dei vari enti, di confrontare i referenti attuali con quelli antichi, di "riscrivere" il passo di Cristofano come rivolto a un lettore moderno. ⁴

Dopo la descrizione dei concetti fondamentali la parte introduttiva continua con una sezione intitolata Tractato d'accogliere la misura delle terre. Qui si spiega come misurare in pertiche - l'unità di misura usata a Pisa - e i suoi sottomultipli, eseguendo le varie conversioni nel caso di misure lineari e superficiali. ⁵ Si fanno esempi con campi rettangolari di varie misure e alla fine anche qualche esempio con campi a forma di rombo.

A seguire queste due sezioni introduttive - sulle figure geometriche e sulle misurazioni di superfici - s'inizia il corpo del trattato che si preannuncia diviso in sette parti numerate e così descritte:

• misurare le terre che sono fatte come trianghuli
• delle terre che ànno 4 faccie e non sono fatte come scacchierj, né come taulieri, né come briccaldellj
• misurare terre che ànno più che 4 latora
• misurare le terre che sono ritonde e parte di ritonde
• misurare le terre che sono nelli monti e nelle valle, che le loro superficie non sono piane
• di partire le terre e le case trallj consorti
• di misurare le torre cioè l'altessa e lle lunghesse de' pianj con strumentj e soctigliesse d'altre cose

Gli argomenti trattati da Cristofano si ritrovano tutti nelle otto distinctiones della Pratica geometriae di Leonardo Pisano, anche se la suddivisione degli argomenti non sempre coincide: ad esempio le prime cinque parti sulla misurazione delle terre sono, nella Pratica geometriae, tutte raccolte nella terza distinctio dal titolo In mensuratione omnium camporum. Non vale l'inverso, cioè vi sono argomenti trattati da Leonardo Pisano che non compaiono qui. Cristofano elimina ad esempio tutto un capitolo piuttosto tecnico sui radicali quadratici che nella Pratica geometriae è premesso a quello sul calcolo delle misure delle superfici piane, così come elimina naturalmente quello sui radicali cubici premesso al capitolo sui solidi, argomento che Cristofano non affronta affatto.

Le misurazioni a distanza, di cui ci occuperemo, vengono trattate da Cristofano nel settimo e ultimo capitolo e compaiono nella Pratica geometriae nella settima delle otto distinzioni. ⁶

Misurare le torre cioè l'altessa e lle lunghesse...

Da poy che abbiamo tractato del misurare et del dividere le terre sì ne' monti come ne' piani suffitientemente, si conviene che diciamo lo modo di misurare l'altessa delle torre e de' monti e le lunghesse e larghesse de' piani con istrumentj et con soctigliesse d'altre cose

Questo è l'incipit del capitolo che Cristofano dedica alle misurazioni a distanza. Nella Pratica geometriae di Leonardo Pisano ad argomento simile è dedicata, come già detto, la settima distinzione, De inventione altitudinum rerum elevatarum et profunditatum atque longitudinum planitierum. In ciascuno dei due testi l'argomento viene affrontato proponendo e risolvendo alcuni problemi che però non coincidono. Anche le esposizioni presentano caratteri diversi: in Cristofano abbiamo un'impostazione meno teorica, le dettagliate dimostrazioni geometriche dei procedimenti date da Leonardo per ciascun caso considerato vengono abbandonate e le spiegazioni abbreviate.

Le situazioni proposte da Cristofano sono otto:

1. sapere l'altezza di una torre servendosi di un'asta ^*
2. come il caso precedente con un fiume o un altro impedimento frapposto tra la torre e l'osservatore ^*
3. come il caso precedente senza spostare l'asta ^*
4. sapere l'altezza di un monte usando uno specchio o una conca piena d'acqua ^*
5. sapere la lunghezza d'un piano servendosi di un quadrato di legno o rame ^*
6. sapere la larghezza di un fiume con due legni ^*
7. altro modo per il caso precedente ^*
8. sapere la profondità di pozzi o cisterne o fosse ^*

In ciascun caso si descrive un procedimento di misurazione da eseguire con l'impiego di vari strumenti e si fornisce la spiegazione matematica relativa.

Dal punto di vista matematico i metodi proposti risiedono tutti sulla individuazione di triangoli rettangoli simili e dunque, in sostanza, sulla costruzione di proporzioni relative alle loro misure (sempre di lunghezza) in cui alcune quantità sono note o misurabili e altre sono quelle cercate. Nei casi più semplici (vedi i problemi 1^*, 5^*, 6^*, 7^*, 8^*) i triangoli utilizzati sono una sola coppia e una sola proporzione è sufficiente a calcolare la misura cercata. Negli altri casi proposti (casi 2, 3, 4) una coppia di triangoli non basta; si fa allora ricorso a trucchi che Cristofano definisce soctigliesse, cioè varianti di procedimento che consentono l'individuazione di due coppie di triangoli simili e la misura cercata si ottiene servendosi di due proporzioni .

Per la individuazione dei triangoli si fa ricorso all'utilizzo di vari semplici strumenti: troviamo un'asta, uno specchio, un quadrato, due aste perpendicolari, due aste parallele, due aste poste a squadra. In generale in ogni procedimento entrano in gioco quantità legate allo strumento che si usa e quantità che variano a seconda dell'oggetto da misurare.
I procedimenti matematici sono tutti molto semplici: le soluzioni richiedono da un minimo di due operazioni (per la soluzione della proporzione: una moltiplicazione e una divisione) a un massimo di cinque. In ordine di complessità abbiamo:

numero operazioni	casi
(zero	1ter*),
(uno	2bis*),
due	1bis*, 4bis*, 5*, 6*, 7*
tre	1*, 4*, 8*
quattro	2*
cinque	3*

Ci occuperemo dei vari casi riportando le parole stesse di Cristofano, dando una descrizione con linguaggio più moderno e fornendo qualche osservazione sul procedimento risolutivo che può servire da traccia per un lavoro da impostare nelle classi. Un modo per avvicinarsi al testo potrebbe essere quello di cercare come prima cosa di comprendere la situazione descritta da Cristofano attraverso le sue stesse parole o, se questo presentasse eccessive difficoltà, illustrare preventivamente la situazione e farla poi riconoscere nelle parole di Cristofano (raccomandiamo in ogni caso di tentare in qualche modo una lettura anche parziale del testo originale). Per poter poi affrontare le strategie risolutive si può richiedere ai ragazzi una riformulazione in termini più moderni e guidare una schematizzazione del problema aiutandosi magari con disegni a vari livelli di astrazione. Una volta ben compreso il problema si può stimolare la ricerca di una soluzione ("Come avreste fatto per ...?") commentandone efficacia, limiti, vantaggi, svantaggi. Infine confrontare la soluzione elaborata con quella proposta da Cristofano (eventualmente facendola riconoscere anche nella lettura diretta del testo antico, cosa spesso non immediata non solo per la difficoltà della lingua usata ma anche per il diverso modo di esprimere concetti e procedimenti matematici).

I passi proposti si prestano inoltre a varie attività interdisciplinari: collegamenti storici, osservazioni linguistiche, storia e sviluppo delle tecniche degli strumenti, attività pratiche: realizzazione degli strumenti utilizzati nei vari casi e esecuzione di misurazioni in casi analoghi. A questo proposito forniamo qualche spunto di riflessione (vedi Lo strumento) da sviluppare caso per caso: si possono far individuare le caratteristiche essenziali dello strumento o introdurre possibili varianti di realizzazione per migliorarne o estenderne l'uso, o suggerire come una scelta a priori di alcune misure può rendere più immediato il calcolo.⁷

Si propone anche qualche modello di scheda di lavoro già pronta per attività guidata (vedi Appendice attività).

Caso 1

La prima situazione descritta da Cristofano consiste nel misurare l'altezza di un oggetto (una torre) con l'impiego di un'asta piantata verticalmente in un punto nel caso in cui si possa raggiungere la base dell'oggetto per misurarne la distanza dall'osservatore.

Se vuoi sapere l'altessa d'alcuna torre, pone una asta ricta in del piano dinanti a te di ver la torre, et sia più lungha che tu si' come vedi in questa prezente fighura; et sia l'asta $ab$ et tu sia $cd$. Et or righuarda movendoti, là e qua in dietro e innansi, sicchè tu veggi per lo $a$ la sommità della torre, cioè lo punto $f$.

[prosegue con la soluzione]

Le istruzioni da seguire sono dunque le seguenti:

Se vuoi sapere l'altezza di una torre poni un'asta più alta di te verticale fra te e la torre. Spostati avanti o indietro fino a vedere la sommità della torre coincidere con l'estremità dell'asta.

Una volta posizionati l'asta e l'osservatore secondo le istruzioni si individuano due triangoli rettangoli: uno ( $cga$) formato dall'occhio dell'osservatore ( $c$), il punto dell'asta che si trova all'altezza dell'occhio dell'osservatore ( $g$) e la sommità dell'asta ( $a$); l'altro ( $chf$) formato dall'occhio dell'osservatore ( $c$), il punto della torre che si trova all'altezza dell'occhio dell'osservatore ( $h$) e la sommità della torre ( $f$). Questi due triangoli sono simili e dunque

$$\bgroup\color{black}cg:ga=ch:hf\egroup$$

Di queste misure $cg$ è la distanza asta-osservatore, che si può misurare, $ga$ è quanto l'asta sopravanza l'altezza degli occhi dell'osservatore, $ch$ è la distanza osservatore-torre, che si può misurare. Dunque con due operazioni si può ricavare $hf$ ( $hf=(ga \times ch) : cg$) e aggiungendo a questo l'altezza dell'osservatore (più precisamente l'altezza dei suoi occhi), si trova l'altezza della torre.

Questa la soluzione di Cristofano:

Et or considera la proportione del $cg$ al $ga$ che, come è lo $cg$ al $ga$ così è 'l $ch$ al $hf$, ché se 'l $cg$ è doppio del $ga$ così lo $ch$ è doppio del $hf$, ché quanto 'l $cg$ è allo $ga$ cotanto, sansa alcuno dubbio, è 'l $ch$ al' $hf$; et quant'è l' $ag$ al $cg$ tanto, sansa fallo, è lo $fh$ al $hc$; e llo $fh$ è la torre et quant'è lo $db$ al $ga$ cotanto è lo $di$ allo $fh$.

Si suppone dunque che il lettore conosca e sappia risolvere le proporzioni. Che questo sia lo strumento matematico da utilizzare in questo caso viene affermato in base all'osservazione che se di due delle lunghezze considerate una è doppia dell'altra anche tra le altre due sarà così; e così sansa alcuno dubbio accadrà con un altro rapporto. Tra il problema pratico e il procedimento risolutivo non vi è il passaggio attraverso la schematizzazione geometrica che lo giustifichi. Questo caratterizza le soluzioni anche dei casi successivi considerati da Cristofano.

Ben altra è la completezza e il rigore matematico che troviamo in Leonardo Pisano. Andando a confrontare il primo dei casi che compaiono nella Pratica geometriae in cui, analogamente a quello di Cristofano, si tratta di come misurare l'altezza di un oggetto servendosi di un'asta, troviamo che, dopo aver descritto la procedura da eseguire sul campo (vedi Appendice testi e Caso 1bis), si analizza attentamente la struttura geometrica del problema: si spiega come costruire i due triangoli, si afferma che sono simili perché equiangoli (si dimostra che sono equiangoli perché entrambi retti e con un angolo in comune), si afferma che dunque hanno i lati adiacenti ad angoli uguali in proporzione, si arriva da qui alla proporzione da utilizzare per il calcolo. Anche sulla proporzione ci si dilunga abbastanza: si distinguono i casi in cui (vedi figura del caso 1bis) $cd$ sia uguale a $de$ (e dunque $cb$ sia uguale a $ba$), $cd$ sia maggiore di $de$ (e dunque $cb$ sia maggiore di $ba$), $cd$ sia minore di $de$ (e dunque $cb$ sia minore di $ba$) portando e risolvendo per ciascun caso un esempio numerico.

Un'altra differenza tra i due autori è costituita dal fatto che nel procedimento di Cristofano bisogna considerare l'altezza dell'osservatore, cosa che l'autore sembra trascurare nella soluzione introducendo un "errore" pari appunto a tale altezza. In Leonardo il problema è superato poiché nella procedura di misurazione si richiede che l'osservatore si ponga con l'occhio a terra. Non solo in questo modo non vi è l'"errore", ma la geometria del problema risulta semplificata riducendosi alla coppia di triangoli tra cui stabilire le opportune relazioni, senza il "disturbo" della fascia costituita dall'altezza.

Accogliendo questa variante il procedimento di Cristofano potrebbe essere così modificato:

Caso 1bis

Se vuoi sapere l'altezza di una torre poni un'asta verticale fra te e la torre. Allontanati dall'asta e poni l'occhio a terra. Spostati avanti o indietro fino a vedere la sommità della torre coincidere con l'estremità dell'asta.

La semplificazione estrema consiste nel porsi nella situazione geometrica in cui l'altezza dell'asta e la distanza dell'osservatore dall'asta sono uguali (e dunque anche altezza della torre e distanza dell'osservatore dalla torre sono uguali). Oltre ad essere il primo dei tre casi numerici considerati da Leonardo, ci si trova in questa situazione se si utilizza una procedura un po' diversa, sempre con l'impiego dell'asta, che Leonardo descrive e che noi potremmo riadattare alla situazione di Cristofano in questo modo:⁸

Caso 1ter

Se vuoi sapere l'altezza di una torre prendi un'asta di altezza pari all'altezza dei tuoi occhi da terra. Distenditi a terra con i piedi verso la torre tenendo l'asta verticale tra i talloni. Spostati poi avvicinandoti o allontanandoti dalla torre fino a vedere la sommità della torre coincidere con l'estremità dell'asta.

Essendo $cb$ uguale a $ad$, per trovare l'altezza della torre basterà in questo caso misurare la distanza dell'osservatore (degli occhi dell'osservatore, come ben specificato da Leonardo) dalla torre: una misurazione e nessuna operazione aritmetica.

Alla semplificazione geometrica non corrisponde però una maggiore efficienza del metodo: se già piegarsi ogni volta a terra poteva essere scomodo, ancor di più lo è il dover addirittura strisciare per trovare la giusta posizione. Dovendo eseguire un certo numero di misurazioni, il "vero geometra sul campo", anche se non amante della matematica, non tarderà a preferire una o due operazioni aritmetiche in più, piuttosto che questa ginnastica forzata. Rispetto a Cristofano, che descritta la procedura riduce al minimo le indicazioni per la soluzione aritmetica quasi volendo fornire una sorta di regola da ricordare, Leonardo si rivela dunque un "vero geometra teorico", più interessato alla eleganza e completezza dei ragionamenti che a conoscere l'effettiva altezza di torri o alberi, tanto che sembra quasi che a partire dalla geometria egli costruisca i suoi metodi e non viceversa.

Se le articolate argomentazioni di Leonardo presentano una difficoltà improponibile a chi non ha familiarità con un ragionamento formale, presentare anche le varianti che troviamo nel suo trattato e che abbiamo riadattato sopra, può avere però una notevole utilità didattica. La successione dei casi 1, 1bis, 1ter rappresenta infatti in un certo senso una visualizzazione di tappe del percorso induttivo che dalla situazione reale conduce all'essenza geometrica del problema, quasi materializzando dei processi mentali che analizzano, scompongono e ricompongono il problema. In particolare ad esempio ridursi dal caso 1 al caso 1bis, cioè dall'osservazione in piedi porre l'occhio a terra, equivale niente altro che alla consapevolezza che il vero nucleo del problema sta nei due triangoli; nell'indagare la relazione che intercorre tra questi, arrivare al caso 1ter equivale al figurarsi la più semplice delle situazioni (il rapporto 1:1) in cui la risposta al problema sta scritta direttamente sulla geometria e all'intuizione resta solo di afferrarla. Con percorso inverso, chiudendo un anello, si può poi tornare al caso 1. Così per chi non ha dimestichezza con similitudini e proporzioni questa può essere un'occasione per avvicinarvisi anche senza ricorrere al formalismo classico.

Lo strumento:
Si tratta di una semplice asta che possa conficcarsi in terra ed essere posta verticale. Un segno può indicare l'altezza degli occhi dell'osservatore. Devono essere noti: la distanza tra il segno all'altezza degli occhi dell'osservatore e la sommità dell'asta, la distanza tra il segno all'altezza degli occhi dell'osservatore e il punto in cui l'asta emerge dal terreno (pari all'altezza degli occhi da terra).
Come realizzarlo? Consigli: per controllare la verticalità ci si può servire di un filo a piombo. Per realizzare uno strumento che possa essere calibrato sull'altezza occhi di più persone si potrebbero realizzare dei segni scorrevoli o praticare una serie di tacche di riferimento.

Caso 2

Cosa succede se non ci si può avvicinare alla torre (o all'oggetto scelto) per misurare la distanza?

Diamo la parola a Cristofano che ci dice a quale trucco (soctigliessa) possiamo ricorrere:

Et se avessj fiumo, overo alcuno altro impedimento in tral $c$ e l' $h$ sicché non potessi andare alla radice della torre, unde per soctigliessa te la convengha trovare.
Perciò piglia lo $agb$ cioè l'asta overo un'altra simile et torna in dirieto con essa 30 govitj overo quanto ti piace, et polla ricta come di prima; et ora righuarda sicché in diricto tu vegghj per lo $m$ lo $k$ in fine allo $f$ che è la somità della torre.

[...]

In altre parole

Prendi nuovamente l'asta o una seconda asta uguale alla prima e arretrala di una distanza a tuo piacere e ancora una volta spostati indietro fino a che non vedi la sommità dell'asta coincidere con la sommità della torre.

Queste le procedure da eseguire "sul campo". La spiegazione data poi da Cristofano per calcolare la misura voluta può risultare in questo caso di non immediata comprensione. ⁹Riscritto con una terminologia e simbologia più vicini alla nostra, il procedimento potrebbe essere spiegato come segue.

Poiché questa volta non si può misurare $ch$ né $mh$ dalle similitudini $cg:ga=ch:hf$ e $me:ke=mh:hf$ non si può trovare direttamente $hf$. Si può però sapere dalla prima misurazione quante volte è $ch$ rispetto a $hf$ (ad esempio se è il doppio, il triplo ...), infatti $ch=\frac{cg}{ga}hf$ e analogamente dalla seconda misurazione si può sapere quante volte è $mh$ rispetto a $hf$, infatti $mh=\frac{em}{ga}hf$. Il trucco è allora il seguente: si misura di quanto l'osservatore si è spostato tra la prima e la seconda misurazione, cioè si misura la distanza $cm$; siccome $cm$ è $mh-ch$ si può sapere qual è la sua misura rispetto a $hf$: $cm=\frac{em-cg}{ga}hf$; ma poiché si conosce la sua misura si può facilmente ricavare quella di $hf$ facendo $hf=\frac{ga \times cm}{em-cg}$. A questo punto si deve solo aggiungere a $hf$ l'altezza dell'osservatore per conoscere l'altezza della torre.

In modo più sintetico avremmo detto che, essendo $ga=ke$, da $\frac{cg}{ga}=\frac{ch}{hf}$ e $\frac{me}{ga}=\frac{mh}{hf}$ si trova $\frac{me-cg}{ga}=\frac{mh-ch}{hf}$, cioè $\frac{me-cg}{ga}=\frac{mc}{hf}$, da cui $hf=\frac{ga \times cm}{em-cg}$.

La situazione qui descritta da Cristofano, come tutte quelle che seguono, non trova più un corrispondente in Leonardo Pisano dove, dopo il procedimento con l'asta di cui abbiamo detto sopra e un procedimento che descriveremo più avanti (vedi Un fuori programma: il teorema di Pitagora^*), si illustra l'uso del quadrante, che non tratteremo.

Se non si vuole rinunciare a presentare questo caso che forse ancor più spesso si può incontrare nella realtà si può però ugualmente provare a costruirne varianti che rendano più comprensibile la soluzione, sulla falsa riga di quanto fatto per il caso precedente. Per chi è in grado di padroneggiare un certo formalismo la soluzione che abbiamo esposto sopra si riduce infatti in definitiva a quattro operazioni, non molte più di prima ma con la notevole difficoltà aggiuntiva di dover maneggiare quantità incognite in proporzioni ed equazioni e dunque rischia di diventare un incomprensibile "si fa così". Come tradurre allora sul campo le varie tappe della risoluzione?

Un modo molto più semplice... ma che non sempre funziona (Caso 2 bis)

Proviamo ad esempio a seguire le seguenti istruzioni in cui, oltre a porre per comodità la lunghezza $ag$ uguale a 1 metro (in modo da "nascondere" una operazione: si moltiplica o divide per 1), abbiamo fissato a priori alcune quantità e abbiamo adottato il metodo di posizionamento che Leonardo Pisano usa in quello da noi chiamato caso 1 ter.

Prendi un'asta di un metro più alta di te. Posizionala in modo che arretrando di un metro tu riesca a vedere la sommità della torre coincidere con quella dell'asta (se la sommità della torre è troppo alta dovrai spostare l'asta indietro, altrimenti in avanti) ¹⁰ e segna la tua posizione. Posiziona poi l'asta in modo che arretrando ora di due metri tu riesca a vedere la sommità della torre coincidere con quella dell'asta e segna questa tua seconda posizione.

Questa volta abbiamo che $hf$ è uguale a $ch$ e $mh$ è il doppio di $hf$, dunque $cm$, che è $mh-ch$, è anch'esso uguale a $ch$. Pertanto l'altezza della torre si può trovare semplicemente misurando $cm$ e aggiungendo a questa misura l'altezza degli occhi dell'osservatore ( $hf=cm+hi$: una sola operazione).

Se poi adottiamo la variante con l'occhio a terra (supponiamo ad esempio che $hm$ sia ora il livello del terreno) la soluzione è ancora più semplicemente data dalla misura diretta di $cm$.

È chiaro però che in questo modo riusciremo a risolvere il caso proposto da Cristofano solo con molta fortuna, ma in generale, fissando sia di quanto l'asta deve sopravanzare gli occhi dell'osservatore sia di quanto l'osservatore deve indietreggiare per vedere la sommità della torre coincidere con quella dell'asta, si rischia di trovarsi proprio nel bel mezzo del fiume che impedisce di raggiungere la torre. Dunque qui non si tratta solo di scomodità maggiore: questo metodo proprio non può essere accettato per il nostro problema in cui esistono limitazioni sul primo posizionamento dell'asta.¹¹

Può essere istruttivo che i ragazzi intuiscano questo limite o che lo scoprano imbattendosi in una situazione sfavorevole (basta che l'oggetto da misurare sia più basso di quanto sia possibile avvicinarsi alla sua base).

In questo modo infatti può iniziare a farsi strada l'idea che se sono stato sfortunato con il primo posizionamento (quello in con il rapporto 1:1, cioè 1 metro di altezza dell'asta sopra gli occhi e 1 metro di distanza dall'asta), ma sarei riuscito nel secondo (quello con il rapporto 1:2), potrei allora intanto compiere quest'ultimo posizionamento e provare a usare come secondo posizionamento quello con il rapporto 1:3 (1 metro sopra gli occhi e 3 metri di distanza dall'asta): il metodo funziona ancora. Potrei successivamente provare con rapporto 1:2 e 1:4 e accorgermi che $cm$ va allora diviso per 2; ugualmente con rapporti 1:3 e 1:5, 1:4 e 1:6 etc., cioè ogni volta che la differenza $cm$ fra il primo e il secondo posizionamento è pari a 2 metri; se poi $cm$ è pari a 3 metri dovrò dividere per 3; e così funzionerà per ogni differenza.

A questo punto posso sospettare che quello che conta sia proprio questa differenza, indipendentemente dal fatto che riesca a posizionare l'asta in modo da vedere la sommità della torre allontanandomi dall'asta di multipli interi del metro. Sono dunque libero di compiere i due posizionamenti dove mi è più comodo: ecco che ho riscoperto il metodo di Cristofano.

Ovviamente questo è solo un possibile percorso. In modo del tutto analogo si potrebbe ad esempio prima provare a compiere il primo posizionamento libero, mantenendo $cm$ uguale a 1, e solo in un secondo momento esplorare cosa succede se $cm$ assume valori diversi.

Si potranno ovviamente trovare altri percorsi che corrispondono a fissare di volta in volta variabili diverse, mettendo nella pratica un momento specifico del ragionamento risolutivo; e così si potrà fare per i casi che seguono.

Caso 3: senza spostare l'asta

Nella terza situazione considerata da Cristofano ci si occupa del caso in cui non si può (o non si vuole) arretrare con l'asta; si spiega cioè come calcolare l'altezza della torre senza misurarne la distanza base-osservatore, come nel caso precedente, e inoltre ricorrendo a un solo posizionamento dell'asta.

Se voui sansa mutatione d'asta sapere l'altessa d'una torre overo di uno monte, ragharda alla prezente fighura et così farai. È lla torre, overo monte $ab$, piglia un'asta che sia 2 ghuviti più lungha di te et polla dinanti a cte diricta in del piano et or considera questa asta la quale è lo $edc$. Et mecte lo spicito tuo visuale diricto dal $f$ per lo $d$ in fine al $a$ che dividrai l'asta al punto del $d$. Et mira quanto è lo $fe$ allo $ed$ ché cotanto è lo $fg$ al $ga$. Et or torna in dirieto infine a tanto che ctu vegghj lo $h$ per lo $c$ in fine all' $a$, che è la sommità della torre overo del monte. E tanto quanto è lo $he$ allo $ec$, cotanto lo $hg$ al $ga$.

Trovasti forse innanti lo $fg$ essere 4 cotanto che 'l $ga$ et poi trovasti che 'l $gh$ era 10 tanto che 'l $ga$; unde cava $fg$ del' $hg$, cioè 4 di 10, rimarrà 6; et così è lo $hf$ 6 cotanto che 'l $ga$ o, vuoi dire, lo $ga$ è sexto del $hf$.

In altre parole il procedimento da seguire può essere ora questo:

Prendi un'asta alta 2 metri più di te (puoi usare un'unità di misura qualsiasi, compatibilmente con le procedure successive) e segna la metà della parte che ti sopravanza (indichiamo questo punto con la lettera $d$). Spostati ora indietro fino al punto (che indichiamo con $f$) in cui vedi coincidere la sommità della torre con il punto $d$. Spostati poi ancora indietro fino al punto (che indichiamo con $h$) in cui vedi coincidere la sommità della torre con la sommità dell'asta (punto $c$).

Come nella nostra variante del caso precedente abbiamo anche qui fissato in anticipo la parte dell'asta che sopravanza l'osservatore, cosa che per altro ora fa anche Cristofano.
Ci sarà bisogno allora della misura di $ef$, di $eh$ e di $fh$, di cui due, ad esempio le prime, si possono misurare "sul campo" e la terza si ricava dalle prime.
Si hanno le proporzioni $fe:ed=fg:ga$ e $he:ec=hg:ga$, ovvero, usando un'asta con le dimensioni come sopra, $fe:1=fg:ga$ e $he:2=hg:ga$. In altre parole trovo $fg$ e $hg$ in termini di $ga$: $fg=fe \cdot ga$ e $hg=he/2 \cdot ga$. Inoltre $fh=hg-fg=fe \cdot ga - he/2 \cdot ga$ e poiché le distanze $fh$, $fe$ e $he$ sono note si può calcolare $ga$.
Per sapere l'altezza di tutta la torre rimane infine da aggiungere l'altezza dell'osservatore (a meno di non usare la variante con occhio a terra).

Un fuori programma: il teorema di Pitagora

Prima di descrivere i rimanenti casi trattati da Cristofano, riportiamo qui un metodo descritto nella Pratica geometriae di Leonardo Pisano per la determinazione dell'altezza di un albero. Il metodo impiega come strumento "pratico" due frecce con una cordicella legata alla coda e come strumento matematico il teorema di Pitagora. Come si sarà forse intuito si può procedere nel seguente modo:

Poniti a una certa distanza dall'albero; lancia una freccia verso la cima dell'albero e una freccia alla sua base. Tendi poi le due corde e falle incrociare a terra in modo da formare un triangolo rettangolo di cui albero e corda che parte dalla base sono i due cateti.

Oltre che essere buoni arcieri, il metodo richiede solo di saper applicare il teorema di Pitagora: dopo aver misurato i tratti di corda $ca$ e $cb$ che andavano rispettivamente da terra alla cima e alla base dell'albero l'altezza $ab$ dell'albero si troverà estraendo la radice quadrata di $ca^2-cb^2$.

Caso 4: con uno specchio

Un altro semplice strumento che può essere utilizzato per le misurazioni a distanza è uno specchio (o qualcosa che rifletta le immagini, come una conca d'acqua). Cristofano ne porta un esempio nel quarto caso descritto in cui si immagina di dover misurare l'altezza di un monte. Ovviamente in questo caso per la situazione stessa non è possibile misurare la distanza tra il piede dell'altezza del monte (che cade all'interno del monte stesso!) e l'osservatore o lo strumento; dunque anche qui siamo nel caso in cui bisogna ricorrere a una soctigliessa.

Ma prima di descrivere il procedimento dato da Cristofano immaginiamo una situazione più semplice in cui non c'è bisogno di soctigliessa e che illustri un uso elementare dello specchio.

Per prendere confidenza con lo specchio: un caso preliminare (Caso 4 bis)

Servendosi dello specchio supponiamo di voler conoscere l'altezza di un oggetto (ad esempio la solita torre del primo problema) la cui base sia invece accessibile. Il procedimento in questo caso sarebbe allora molto semplice: per individuare una coppia di triangoli simili le istruzioni che Cristofano avrebbe dato sarebbero state di questo tipo:

Prendi uno specchio e ponilo orizzontale per terra ad una certa distanza dal piede della torre, poi spostati indietro fino a che tu veda, stando in piedi, nel centro dello specchio la sommità della torre

I due triangoli da considerare sono in questo caso: il triangolo rettangolo $dcb$ formato da occhi dell'osservatore, piedi dell'osservatore, centro dello specchio e il triangolo rettangolo $bea$ formato da centro dello specchio, piede della torre, sommità della torre. I due triangoli sono simili perché per le proprietà di riflessione della luce hanno uguale l'angolo in $b$.
Dalla proporzione $cb:dc=be:ae$, conoscendo la distanza dello specchio dalla torre, la distanza dell'osservatore dallo specchio, l'altezza (degli occhi) dell'osservatore si ricava immediatamente l'altezza della torre.

Il caso di Cristofano (Caso 4)

Poiché nel caso considerato da Maestro Cristofano non è possibile conoscere la distanza della base dell'oggetto dallo specchio o dall'osservatore si procede nel seguente modo:

Se per uno specchio overo per una conca piena d'acqua l'altessa di uno monte sapere desideri, piglia uno specchio e pollo presso al monte a piano e tu te medesmo e lo specchio posto in terra muove, muove, muove qua e là, infine a tanto che ctu veghi lo $a$ in del $b$, cioè la somità del monte in mezzo dello specchio. Et mira quant'è et com'è la proportione avicendevilmente del $bc$ al $cd$, così com'è 'l $bc$ al $cd$ così è la $be$ al' $ea$. La qual cosa puoi provare così: cioè che ctu andrai con quello specchio in dirieto quanto ti parrà et porrailo in terra et farai che ctu veggi, movendo te e llo specchio, lo $ad$ in dello $at$. Et or cava dello $et$ lo $be$ et farai come facesti di sopra, che troverai la proportione del $tb$ allo $ea$.

In altre parole questa è la procedura da eseguire "sul campo":

Se vuoi conoscere l'altezza di un monte usando uno specchio o una conca piena d'acqua prendi uno specchio e, in pianura, ponilo per terra e allontanati fino a vedere, stando in piedi, la cima del monte nel centro dello specchio: ti trovi nella prima posizione. Sposta poi indietro lo specchio e, postolo per terra, di nuovo allontanati fino a vedere, stando in piedi, la cima del monte nel centro dello specchio: questa è la seconda posizione.

Oltre all'altezza dell'osservatore si dovrà conoscere la distanza dell'osservatore dallo specchio nella prima posizione ( $bc$), la distanza dell'osservatore dallo specchio nella seconda posizione ( $tk$), la distanza tra la prima e la seconda posizione dello specchio ( $bt$).
Il procedimento è ancora basato sulla similitudine di due coppie di triangoli che questa volta si ha grazie alla proprietà di riflessione della luce: l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione e dunque il triangolo rettangolo $aeb$ è simile a $bdc$; analogamente $aet$ è simile a $tkd$. Dunque $bc:cd=be:ea$ e $tk:kd=te:ea$, ed essendo $cd=kd$ (pari all'altezza dell'osservatore) si ha $\frac{tk-bc}{cd}ea=te-be$. In questa equazione $te-be$ è noto, infatti $te-be=bt$, la distanza tra la prima e la seconda posizione dello specchio che abbiamo misurato; l'unica incognita rimane $ea$, cioè l'altezza del monte, che possiamo quindi calcolare.

Lo strumento:
Si tratta di una superficie riflettente che possa essere collocata orizzontalmente al livello del suolo; su tale superficie deve essere possibile individuare un punto di riferimento (il centro o un altro punto).
Cristofano parla di uno specchio o di una conca d'acqua. La conca d'acqua ha lo svantaggio che l'immagine riflessa è di qualità peggiore e può essere meno immediato segnare il punto di riferimento, ma ha la garanzia dell'automatica orizzontalità della superficie dell'acqua. Usando lo specchio si ha qualche vantaggio, ma bisogna ricordarsi di assicurarsi in qualche modo l'orizzontalità.
Consigli: ci si può aiutare con le livelle oppure, fissata allo specchio un'asticella perpendicolare, con un filo a piombo.

Caso 5: con un quadrato

Il quinto caso non si occupa più di altezze, ma di distanze di punti posti sullo stesso piano dell'osservatore. Lo strumento utilizzato è un quadrato munito di traguardi:

Se la larghessa overo lunghessa d'alcuno piano vuoj sapere, ordina uno quadrato di legnio overo di rame sì come tu vedi la $abcd$ da ogni canto quadro et da ogni lato eghuale. Et tanto quanto è maggiore tanto è meglio; et or porraj in ciascuno anghulo una staggia d'una medesma lunghessa et stiano eghualmente ricte. Et questo quadrato sia in tra l' $a$ e 'l $b$ cavato reghularmente, in della qual cavagione sia un corsore sul quale porravi un legnio simigliante agli autri lo qual si possa muovere e sia quel fusto lo $e$. et ciò facto dei contenplare sì che ctu veggi per lo $cb$ per fine al termine della lunghessa, overo della larghessa d'alcuno canpo, o d'altra cosa di cui tu vuoi sapere la misura, lo cui termine sia lo $f$. Et poi eghualmente questo quadrato divide dal lato del' $ab$ in quante parte vuoi, o vuoi in 30 o vuoi in 40, o in più o in meno sighondo che ctu vuoi. Et in quella divisione divide lo $ad$ et poi muove tanto lo $e$, qua e là, infine che ctu vedi lo $f$ per lo $de$ non mutando lo lato del $bc$ che si ghuarda in dricta linea col' $f$. Et ora considera in che parte sia lo $e$ in tra l' $a$ e 'l $b$; et poi mira che parte è l' $ea$ al' $ab$ inperoché tanto quanto est lo $ea$ allo $ab$ cotanto sarà lo $dc$ al $cbf$; et quant'è la proportione del' $ea$ allo $ab$ cotanto è quella del' $ad$ al $cbf$. Et per questo modo puoi sapere ogni larghessa et ogni lunghessa che ctu vuoi misurare.

In altre parole:

Prendi un quadrato (di legno o rame) $abcd$. Poni quattro aste uguali in verticale in corrispondenza dei quattro vertici. Sul lato $ab$ del quadrato deve poter essere fissata in qualsiasi posizione una quinta asta. Posiziona orizzontalmente il quadrato in modo da vedere il punto $f$, di cui vuoi conoscere la distanza, allineato con le aste poste in $b$ e $c$; senza spostare il quadrato traguardando da $d$ posiziona l'asta mobile nel punto $e$ in modo da vedere $d$, $e$ ed $f$ allineati.

Il procedimento matematico che sta alla base è ancora una volta la soluzione di una proporzione che esprime la similitudine di due triangoli. I triangoli simili individuati per mezzo dello strumento e considerati da Cristofano sono $ead$ e $cdf$. Per questi vale $ea:cd=ad:cf$, da cui, conoscendo la misura dei lati del quadrato e misurando la distanza dell'asta mobile da $a$, si trova subito $cf$.

Osserviamo che la proporzione precedente si può riscrivere come $ea:\textbf{\textit{l}}=\textbf{\textit{l}}:cf$, dove $\textbf{\textit{l}}$ è il lato del quadrato. Siamo davanti a un bell'esempio di proporzionalità inversa che, da un punto di vista didattico, si presta a una presentazione meno formale della soluzione.
Come suggerisce Cristofano stesso possiamo dotare di una scala graduata il lato $ab$ del quadrato: così facendo possiamo leggere direttamente il risultato dallo strumento. Se, per semplificare, prendiamo come unità di misura il lato del quadrato (o costruiamo un quadrato di lato 1 metro) la misura di $cf$ risulta allora l'inverso della distanza di $e$ da $a$: se l'asta mobile è stata posizionata a metà del percorso $ab$ allora $f$ dista da $c$ due volte l'unità di misura, se l'asta si trova a 1/4 la distanza di $f$ sarà 4 volte l'unità di misura, se 1/10 10 volte e così via.

Lo strumento:
Si tratta essenzialmente di un quadrato; deve essere possibile traguardare attraverso i due vertici consecutivi $b$ e $c$ e attraverso il vertice $d$ e un punto mobile $e$ sul lato $ab$. A questo scopo si possono fissare tre asticelle magari con fessure nei tre vertici e fissare la quarta su una base che scorra sul lato $ab$. In una variante diffusa il punto mobile viene individuato attraverso un'alidada, cioè un'asta girevole, incernierata in $d$.
Suggerimento: si possono realizzare sul lato $ab$ varie scale graduate per facilitare le misurazioni; ad esempio una scala con le distanze da $a$ oppure una scala graduata che indichi la frazione di $ab$ determinata dal punto mobile $e$. In aggiunta o in alternativa si può realizzare una scala con gli inversi la cui lettura ci dice quante volte $ab$ dista $f$ oppure, moltiplicando per la lunghezza (ad esempio in metri) di $ab$, una scala che fornisce direttamente la distanza del punto $f$ in metri.

Caso 6: la larghezza di un fiume

Uno strumento che consente in modo piuttosto semplice di misurare distanze, quali la larghezza della sponda di un fiume, di oggetti posti più in basso rispetto agli occhi dell'osservatore è descritto da Cristofano nel sesto caso. Si tratta di due aste perpendicolari, una verticale da piantare nel terreno e l'altra orizzontale:

Se vuoi sapere la latitudine d'alcuno fiume, o d'altra cosa, piglia uno legnio che ti giungha in fine agli occhi et abbine un altro che sia minore uno ghovito¹². Et pone lo primo legnio, cioè lo maggiore, alla riva dell'acqua e tu sta' presso a llui et sia lo legnio $ab$. Et or pone l'altro legnio diricto dal lato $a$, sì come tu vedi questo $cd$, et or considera di vedere per $ad$ infine al'altra ripa del fiume segniata $e$. Inperciò ch'io ti pognio che lo $be$ sia la larghessa del fiume et lo $ae$ è lo verso indirecto. Et però considera quant'è lo $ac$ al $cd$, ché così come è lo $ac$ al $cd$ così è lo $acb$ al $be$; pensa: se 'l $cd$ è doppio dell' $ac$ che 'l $be$ è doppio del $bca$ et s'è tre tanto l'uno, tre tanto l'altro et se tanto, tanto. Et questo è sansa dubbio.

In altre parole

Se ti trovi sulla sponda di un fiume e ne vuoi misurare la larghezza, poni sulla riva un'asta verticale $ab$ alta quanto i tuoi occhi; più in basso, a una distanza $ac$ dalla sommità dell'asta che ti sia nota, sistema una seconda asta perpendicolarmente alla prima e in modo che sia diretta verso la sponda opposta del fiume. Mantenendo la seconda asta in questa direzione spostala avanti o indietro fino a che, guardando dal punto $a$, tu veda il suo estremo coincidere con la sponda opposta del fiume.

I triangoli simili da considerare sono ora $acd$ e $abe$ per i quali $ac:cd=ab:be$ Quindi, conoscendo le misure di $ac$ e $ab$ e misurando $cd$, si calcola immediatamente $be$.

Lo strumento:
Si tratta di due aste perpendicolari di cui una va posizionata verticalmente e deve essere munita di traguardo all'altezza degli occhi dell'osservatore; l'asta orizzontale, più bassa rispetto al traguardo, deve poter scorrere mantenendo la direzione fissata.
Suggerimento: se lo strumento ha l'altezza del traguardo fissa e la distanza dell'asta orizzontale dal traguardo fissa, si può realizzare una scala graduata sull'asta orizzontale su cui leggere direttamente la misura $be$ cercata una volta posizionato lo strumento. Se lo strumento deve servire per osservatori di altezze diverse e per misurare larghezze molto diverse tra loro può essere conveniente realizzare un traguardo mobile e poter variare l'altezza dell'asta orizzontale rispetto al traguardo.

Caso 7: altro modo per la larghezza di un fiume

Per misurare la larghezza di un fiume ci si può servire ancor più semplicemente di due aste verticali:

Ancora volendo sapere per altro modo la latitudine del fiume, pone questa asta minore in sulla ripa del fiume, la quale sia $ab$ quasi come a pecto. Et piglia l'altra maggiore che cti giungie in fine agli occhi, la quale sia lo $cd$. Et torna in dirieto quanto ti pare et pone l'asta ricta 'a tuoi piei movendo qua e là tanto che ctu vegghi l'altra riva del fiume segniato $e$ per lo $c$, a diricto lo $a$.

[segue la soluzione]

Prendi un'asta $cd$ di lunghezza pari all'altezza dei tuoi occhi e una $ab$ di lunghezza minore (che ti arrivi circa al petto). Posiziona la minore verticale sulla riva del fiume; arretra perpendicolarmente alla riva tenendo l'altra asta verticale e fermati quando traguardando dall'estremità superiore $c$ di quest'asta vedi coincidere la sponda opposta del fiume $e$ con l'estremità superiore $a$ dell'asta minore.

I triangoli simili considerati sono ora $acf$ e $abe$ per i quali $af:fc=eb:ba$. Conoscendo la differenza di altezza fra le due aste $cf$, l'altezza dell'asta minore $ab$ e misurando la distanza $db$ tra le posizioni delle due aste, si calcola subito $eb$, cioè la larghezza del fiume.

Lo strumento:
Si tratta di due aste da posizionare verticalmente ad una distanza (variabile da caso a caso) l'una dall'altra. La prima asta deve essere munita di traguardo all'altezza degli occhi dell'osservatore; la seconda asta deve essere più bassa (o avere un segno di riferimento più basso).
Serve conoscere: l'altezza dell'asta più bassa (o del segno di riferimento), la differenza di altezza tra le due aste.
Suggerimenti: come nel caso precedente se le misurazioni devono essere compiute da osservatori di altezze diverse e per larghezze molto diverse può essere conveniente realizzare un traguardo mobile sulla prima e un riferimento regolabile sulla seconda.

Caso 8: la profondità di pozzi o fossi

Nell'ultimo caso illustrato da Cristofano si spiega come si può calcolare una profondità, senza eseguire la misurazione diretta, ad esempio nel caso di un pozzo o cisterna o fosso. Per far ciò ci si serve, come nel sesto caso, di due aste disposte perpendicolarmente.

Se la profondità di possi, cisterne o fosse, cercassi di sapere sansa misura, farai così. Piglia uno legnio diricto e pollo in su la boccha del posso et questo legnio sia allato alla boccha del posso quanto più si può. Et un altro legnio simile a questo esca sotto lo piede di questo sì che faccino anghulo ricto. La profondità del posso siea $ae$ e ll'asta diricta sia lo $ad$ et l'altra asta che gli esce da piè sie lo $acb$, la qual giace in sulla boccha del posso e taglia lo $de$ ad anghulo ricto al punto dell' $a$. Or guarda e mira per l'onbra del posso sicchè tu veggi lo $dc$ in del' $f$.

[segue la soluzione]

Prendi due aste fissate a squadra e poni la squadra sul bordo del pozzo in modo che un braccio della squadra ( $ad$) sia verticale e l'altro ( $ab$) sia appoggiato trasversalmente sulla bocca del pozzo. Traguardando dal punto $d$ il fondo del pozzo segna sul braccio orizzontale il punto $c$ che si sovrappone al punto $f$ del fondo che si trova sulla verticale dell'estremo $b$ del braccio orizzontale.

I triangoli simili considerati sono $acd$ e $efd$ per i quali $ac:ad=ef:de$. Conoscendo $ad$ e misurando sull'asta orizzontale $ac$ e $ab=ef$ si calcola subito $de$. Togliendo da $de$ la lunghezza nota di $ad$ si trova la profondità del pozzo.

Lo strumento:
Si tratta di due aste fissate a squadra. La squadra deve poter essere posizionata in modo che un braccio sia verticale e sulla sommità $d$ sarà munito di un traguardo. Sul braccio orizzontale devono essere individuati due punti $b$ e $c$. Il punto $b$ deve essere scelto in modo che sul fondo di cui si deve misurare la profondità in corrispondenza della verticale di $b$ sia ben individuabile un punto $f$ che poi possa essere traguardato da $d$; nel caso di un pozzo con la bocca non troppo larga e le pareti verticali risulterà semplice scegliere tale punto proprio sul bordo, come nell'esempio. Il punto $c$ è individuato traguardando il punto $f$ da $d$.
Serve conoscere: la lunghezza del braccio verticale $da$, la lunghezza del braccio $ab$. Serve ogni volta misurare la distanza $ac$.
Suggerimento: per garantire il posizionamento della squadra sul piano verticale servirsi di livelle o fili a piombo; per individuare il punto $c$ realizzare un cursore. Si può realizzare una scala graduata sul braccio orizzontale.
Per avere uno strumento adattabile a situazioni diverse può essere conveniente realizzare la squadra in modo che anche i punti $d$ e $b$ siano regolabili.

Misurazioni a distanza nella Pratica della geometria di Cristofano di Gherardo di Dino: indice

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