Il giardino di Archimede  Un museo per la matematica

Il calcolo in Italia

L'arrivo del calcolo in Italia

Leibniz si reca in Italia nel marzo del 1689 con l'incarico di studiare la genealogia della casa d'Este in relazione con quella di Braunschweig-Lüneburg. Rimane fino al marzo successivo soggiornando sei mesi a Roma e visitando anche Venezia, Ferrara, Bologna, Napoli e Firenze. Durante il viaggio egli stabilisce anche contatti con matematici e studiosi per diffondere il suo nuovo calcolo in Italia. Nel 1692 il Giornale de' letterati di Modena ospita una sua soluzione del problema di trovare la configurazione di equilibrio di una corda pesante. La soluzione è preceduta da un'introduzione in cui si parla del nuovo calcolo.
Nell'ambiente scientifico italiano, legato a una tradizione geometrica che ha esponenti nei fratelli Ceva o in Vicenzo Viviani, il calcolo leibniziano però inizia a farsi strada solo agli inizi del Settecento. Le riviste d'oltralpe, come gli Acta eruditorum, non sempre sono facilmente reperibili. Mancano inoltre circoli di studio e di ricerca paragonabili ad esempio a quello di Parigi, presso in quale Johann Bernoulli ebbe l'occasione di incontrare l'Hopital.
La situazione cambia nel primo decennio del nuovo secolo. Nel 1707 giunge a Padova per ricoprire la cattedra di Matematica Jacob Hermann, che si era formato a Basilea dove Jacob e poi Joahnn Bernoulli avevano insegnato. La sua presenza fa di Padova un centro fondamentale per lo studio e la diffusione del calcolo leibniziano. Qui rimane fino al 1713 intrecciando una fitta rete di contatti e divenendo il punto di riferimento per i matematici italiani che volevano confrontarsi con i nuovi metodi analitici. A lui succede Nicolaus I Bernoulli (1687-1759), mentre altri membri della famiglia Bernoulli, Nicolaus II (1695-1726) e Daniel (1700-1782), soggiornano a lungo a Venezia. A Bologna intanto si crea un nucleo di studiosi animato dai fratelli Manfredi.
Nel 1710 nasce poi il Giornale de' letterati di Italia che raccoglierà alcuni dei lavori e dei dibattiti scientifici ormai avviati e che si svilupperanno negli anni successivi.

|    Guido Grandi    |    Iacopo Riccati    |    Giulio Carlo de' Toschi Fagnano    |    Maria Gaetana Agnesi    |   

Contributi di Guido Grandi.

Tra le prime opere pubblicate da matematici italiani in cui il nuovo calcolo differenziale fa la sua comparsa troviamo quelle di Guido Grandi.
Nel 1703 egli pubblica la Quadratura circuli et hyperbolae. Qui non si trovano particolari contributi originali, ma i risultati già provati da altri sono oggetto di una autonoma rielaborazione e risistemazione. La prima parte dell'opera si occupa della quadratura del cerchio che viene ottenuta mediante la formula $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...$; la seconda parte è invece dedicata all'iperbole e la quadratura di una regione è qui ricondotta alla serie $\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 8}+\frac{1}{4 \cdot 16}+\frac{1}{5 \cdot 32}+...$ .
Quanto ai metodi differenziali, nella prefazione Grandi scrive:

Ma ho anche inserito di quando in quando anche i dx, dy caratteristici del calcolo differenziale e il loro modo di essere differenziati e sommati. E così, se anche li avessi potuti introdurre anche nei miei opuscoli precedenti! Ma allora i segreti di quel metodo mi erano inaccessibili, mentre ora, provata la loro utilità e fecondità, perché non inserirli tra gli altri metodi a me familiari? Inoltre il significato dei simboli è molto chiaro, poiché non significa altro se non una differenza infinitamente piccola tra le stesse x e y, e facilmente troverai esposte le regole stesse del calcolo se osserverai e sfoglierai attentamente questo trattato, nel caso in cui tu non volessi ricorrere al chiarissimo L'Hospital che le spiega in modo più completo nel trattato degli infinitamente piccoli.

L'utilizzo dei metodi differenziali resta in effetti piuttosto sporadico. Un'occasione per esporne alcuni rudimenti è costituita da una lettera ricevuta da Gabriele Manfredi sulla quadratura dell'iperbole che viene inserita nella seconda parte dell'opera. Per chiarire il procedimento esposto da Manfredi, Grandi infatti aggiunge una serie di note in cui spiega i passaggi e descrive le regole del nuovo calcolo.

* Pagina in mostra V. 1

Guido Grandi
Quadratura circuli et hyperbolae

(*) Infatti la ``differenza'' di una qualunque potenza dell'incognita x è la stessa potenza moltiplicata per il suo esponente e ``differenziata'' di una sua dimensione, lasciando invariate le costanti per cui è moltiplicata, costanti in verità per le quali la ``differenza'' è nulla, come è dimostrato nel Tractatu de infinitis infinitorum et infinite parvorum nello scolio alla prop. V, e dunque differenziando questa serie [ $abxx/2+abx^3/3+abx^4 /4+ abx^5 /5+abx^6 /6$ ecc. ] si ottiene quella precedente $abxdx+abxxdx+abx^3dx$ ecc.

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Contributi alle equazioni differenziali: Iacopo Riccati.

Con lo sviluppo del calcolo infinitesimale si compiono notevoli successi in quei problemi che sono legati alla soluzione di equazioni differenziali. Un metodo generale di risoluzione, mediante gli sviluppi in serie di potenze, è utilizzato da Newton nel Treatise of the method of fluxions and infinite series per le equazioni che possiamo indicare come $y'=f(x,y)$. La soluzione ottenuta non è trovata però in forma esplicita, ma attraverso una serie i cui coefficienti possono essere calcolati uno dopo l'altro.
Sul continente invece, in mancanza di un metodo generale, si studiano classi particolari di equazioni con il proposito di ridurre la loro soluzione alle quadrature, cioè al calcolo di alcuni integrali.
Si assiste così in primo luogo alla soluzione delle equazioni a variabili separabili e poi a tutta una serie di studi miranti a ricondurre a queste ultime, mediante opportune trasformazioni, classi sempre più vaste di equazioni. Un tipico esempio è costituito dalle equazioni omogenee, cioè quelle in cui il secondo membro $f(x,y)$ è una funzione omogenea di grado zero ossia una funzione del solo rapporto $y/x$. In questo caso, ponendo $y=wx$, si ottiene per $w$ un'equazione a variabili separabili.
Nello studio di queste equazioni che permettono di risolvere classi via via più vaste di equazioni differenziali, si distinguono i Bernoulli, Eulero, gli italiani Gabriele Manfredi e Iacopo Riccati e, più tardi, Lagrange e Clairaut.
In particolare, il procedimento generale per le equazioni omogenee viene descritto da Manfredi nel De constructione aequationum differentialium primi gradus (1707) che fu molto apprezzato da Leibniz ed altri matematici europei.
A partire dal risultato di Manfredi, Riccati studia varie generalizzazioni e determina vari casi di equazioni che si possono ricondurre alla forma precedente con opportune sostituzioni. Considerando ad esempio l'equazione che in termini di uguaglianza tra differenziali si scrive come $x^mdx+x^ny^rdy=y^sdy$, egli trova alcuni valori degli esponenti che rendono l'equazione risolubile. Altri contributi in questo senso furono dati più tardi da D. Bernoulli ed Eulero.

* Pagina in mostra V. 2

Iacopo Riccati
Della separazione delle indeterminate nelle equazioni differenziali e d'altri gradi ulteriori

Caso I
Sia generalmente proposta l'equazione di tre membri $x^mdx+x^ny^rdy=y^sdy$.
Se $m=n+r=s$ allora siamo nel caso sciolto dal Signore Manfredi; ma sopposto che non ci sia fra le somme degli esponenti la necessaria egualità, cerchiamo almeno in quali casi con un poco di artifizio ci può venir fatto di trasformare la formola proposta in una equivalente, in cui si verifichi la condizione prescritta. Così se non potremo separare generalmente le variabili, determineremo però infiniti casi, ne' quali la separazione succede felicemente.

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Rettificazioni: la lemniscata e i contributi di Fagnano.

In relazione al problema di determinare la forma che una verga sottile assume sotto l'azione di determinate forze, Jakob Bernoulli introduce la curva detta lemniscata, la cui equazione in coordinate cartesiane è $(x^2+y^2)^2=a^2 (x^2-y^2)$. Nel problema della verga Bernoulli infatti si imbatte in un integrale irrazionale del quale non sa trovare l'espressione esplicita in termini di funzioni trascendenti elementari. Tale integrale ha la stessa forma di

$$\int \frac{a\,dz}{\sqrt{a^4-z^4}}$$

che esprime la lunghezza dell'arco di lemniscata e che, parimenti, Bernoulli afferma non essere esprimibile in termini di funzioni elementari. Integrandi irrazionali di tipo analogo compaiono anche nei tentativi di rettificare l'ellisse, la lunghezza del cui arco ha grande importanza nell'astronomia, e vengono perciò detti ellittici.
Le prime indagini sugli integrali ellittici si indirizzano non tanto nel calcolarli, quanto a ridurre i più complicati a quelli che si presentano nella rettificazione dell'ellisse o dell'iperbole, che appartiene sempre a questa classe, o a trovare somme o differenze di archi che siano comunque esprimibili esplicitamente.
In questo contesto Fagnano dimostra ad esempio che la differenza di due qualunque archi di ellisse è esprimibile algebricamente.
A partire dal 1714 lo stesso Fagnano si occupa anche della rettificazione della lemniscata mediante archi di ellisse e di iperbole e trova varie relazioni algebriche soddisfatte dai suoi archi. Inoltre stabilisce come determinare i punti che dividono in un certo numero di parti l'arco o l'area di un quadrante della curva. Le sue ricerche attirarono più tardi l'attenzione di Eulero che le riprese e le ampliò in varie direzioni.

* Pagina in mostra V. 3

Giulio Carlo de' Toschi Fagnano
Produzioni matematiche

Supposizioni note agli intendenti del calcolo infinitesimale. - Sia la lemniscata $CQACFC$ (figura 24), il cui semiasse $CA=a$; si sa che prendendo nel centro C l'origine dell'abscisse $x$ e chiamando $y$ le ordinate che sono all'asse normali, la natura della lemniscata s'esprima con quest'equazione $x^2+y^2=a\sqrt{x^2-y^2}$. Si sa ancora che se si chiama $z$ la corda indeterminata $CQ=\sqrt{x^2+y^2}$ si ha l'arco diretto $\int \frac{a\,dz}{\sqrt{a^4-z^4}}$ e l'arco inverso $QA=\mbox{arc.}CA - \mbox{arc.}CQ =\int \frac{\sqrt{a^4+z^4}\,dz}{\sqrt{a^4-z^4}}$ . [...]

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Le Istituzioni analitiche di Maria Gaetana Agnesi.

Nell'introduzione delle Istituzioni analitiche l'Agnesi scrive:

Non avvi alcuno il quale informato essendo delle Matematiche cose non sappia altresì quanto, in oggi spezialmente, sia necessario lo studio dell'analisi e quali progressi si sieno con questa fatti, si facciano tuttora, e possano sperarsi nell'avvenire; che però non voglio né debbo trattenermi qui in lodando questa scienza, che punto non ne abbisogna, e molto meno da me. Ma quanto è chiara la necessità di lei, onde la Gioventù ardentemente s'invogli di farne acquisto, grandi altrettanto sono le difficoltà che vi s'incontrano, sendo noto e fuor di dubbio che non ogni città, almeno nella nostra Italia, ha persone che sappiano o vogliano insegnarla e non tutti hanno il modo di andar fuori della Patria a cercarne i maestri.

Con l'intenzione dunque di raccogliere e riordinare con chiarezza e semplicità, omettendo tutto il superfluo, senza lasciare cosa alcuna che esser possa utile o necessaria sono redatti i due tomi. Il primo s'intitola Dell'analisi delle quantità finite, e contiene elementi di algebra e geometria analitica con lo studio di varie curve tra cui la versiera a cui è rimasto legato il nome dell'Agnesi. Il secondo riguarda invece il calcolo ed è diviso nei tre libri Del calcolo differenziale,Del calcolo integrale, Del metodo inversof delle tangenti.

* Pagina in mostra V. 4

Maria Gaetana Agnesi Istituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana Dato il semicircolo ADC del diametro AC si ricerca fuori di esso il punto M tale che condotta MB normale al diametro AC che taglierà il circolo in D, sia AB:BD=AC:AM, e perché infiniti sono i punti M che soddisfanno al problema, se ne dimanda il luogo. [...] L'Agnesi determina l'equazione $xy^2=a^2 (a-x)$ soddisfatta dai punti della curva e procede con il suo studio.

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Storia del calcolo...

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