Il giardino di Archimede
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``Nel calcolo integrale - scrive nell'introduzione - mi è sembrato necessario dimostrare generalmente l'esistenza degli integrali o funzioni primitive prima di far conoscere le loro diverse proprietà. Allo scopo, è stato anzitutto necessario stabilire la nozione di integrale preso entro limiti dati o integrale definito.''L'integrale è dunque definito in maniera indipendente dalla derivata, salvo poi confrontare le due operazioni, con un punto di vista in un certo senso più simile alle idee sulla misura delle figure che si erano sviluppate con Cavalieri e i suoi continuatori e che erano state spazzate via con l'affermarsi del calcolo infinitesimale, quando prevale l'aspetto di integrazione come operazione inversa della differenziazione.
``il valore di finirà per essere sensibilmente costante o in altri termini finirà per raggiungere un certo limite che dipenderà unicamente dalla forma della funzione e dai valori estremi attribuiti alla variabile . Questo limite è ciò che si chiama integrale definito''.
Condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione limitata sia integrabile è che per ogni e esista una partizione dell'intervallo di definizione in un numero finito di intervalli tali che la somma delle lunghezze di quelli nei quali l'oscillazione della funzione supera risulti minore di .La generalità di tale condizione è mostrata costruendo un esempio di funzione integrabile che la soddisfa e possiede un insieme denso di punti di discontinuità, in contrasto con la condizione ritenuta necessaria da Dirichlet.
Supponiamo che, essendo una funzione continua rispetto alla variabile tra due limiti finiti e , si denotino con , , ..., dei nuovi valori di interposti tra questi limiti, e che vadano sempre crescendo o decrescendo dal primo limite al secondo. Ci si potrà servire di questi valori per dividere la differenza in elementi , , , ... , che saranno tutti dello stesso segno. Ciò posto immaginiamo che si moltiplichi ogni elemento per il valore di corrispondente all'origine di questo stesso elemento, ossia l'elemento per , l'elemento per , infine l'elemento per ; sia la somma dei prodotti così ottenuti. La quantità S dipenderà evidentemente: dal numero degli elementi nei quali sarà divisa la differenza ; dai valori stessi di questi elementi e, di conseguenza, dal modo di suddivisione adottato. Ora importa osservare che se i valori numerici degli elementi diventano molto piccoli e il numero assai considerevole, il modo di suddivisione non avrà più sul valore che un'influenza insensibile. [...]
L'incertezza che regna su alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali indefiniti ci costringe a premettere qualcosa sul concetto di integrale definito e sull'ambito della sua validità. Dunque, anzitutto: che cosa si deve intendere per ? Per stabilirlo, prendiamo tra e una serie di valori , , ..., che si susseguono l'un l'altro secondo grandezza e denotiamo per brevità con , con ,..., con e con una frazione positiva propria. Il valore della somma
dipenderà allora dalla scelta degli intervalli e delle grandezze . Se esso ha la proprietà, comunque siano scelti e , di avvicinarsi infinitamente a un limite fissato A, non appena diventeranno infinitamente piccoli, allora tale valore si chiama [...]
I punti di una retta che stanno fra due punti dati, contando ovvero non questi punti, formano un campo, che si dirà segmento rettilineo. la sua lunghezza è una grandezza principale; ogni campo formato da un numero finito di segmenti ha pure una lunghezza paragonabile a quella d'un segmento dato.
Abbiasi ora un campo formato da punti in linea retta, dato in un modo qualunque. Potremo in generale immaginare dei campi formati da un numero finito di segmenti, e dei quali fa parte il campo dato; e potremmo immaginare dei campi formati pure da un numero finito di segmenti, i quali fanno parte del campo dato. Ciascheduno di questi campi ha una lunghezza, e la lunghezza dei primi è maggiore della lunghezza dei secondi.
Se il limite inferiore della lunghezza dei primi campi coincide col limite superiore delle lunghezze dei secondi, al valore comune di questi daremo il nome di lunghezza del campo rettilineo dato. Ma potrebbe avvenire che questi due limiti non siano eguali, e quindi che il limite inferiore delle prime lunghezze sia maggiore del limite superiore delle seconde. In questo caso diremo che il campo proposto non ha una lunghezza paragonabile con quella d'un segmento rettilineo; e al limite inferiore delle prime lunghezze potremo dare il nome di lunghezza esterna del campo dato, e chiamare lunghezza interna il limite superiore delle seconde.
36. Cercheremo poi di precisare il concetto di estensione di questo oggetto (a cui potremo dare in particolare il nome di lunghezza, di area o di volume, quando il numero delle dimensioni sia 1, 2, o 3).
Considereremo, per fissare le idee, il caso di due dimensioni. Ciascun punto (u, v) di E potrà essere rappresentato geometricamente su un piano di cui u e v sono le coordinate. Decomponiamo questo piano, con parallele agli assi coordinati, in quadrati di lato r. Fra questi l'insieme di quei quadrati che sono interni ad E formano un dominio S interno ad E; l'insieme di quelli che sono interni ad E o che intersecano la sua frontiera formano un nuovo dominio S+S' al quale E è interno. Questi domini hanno area determinata che indicheremo ancora con S e S+S'.
Facciamo variare la nostra decomposizione di quadrati in modo tale che r tenda a zero; le aree S ed S+S' tenderanno verso limiti fissati [...].
Ecco ora le nuove definizioni: se un insieme E ha per misura s e contiene tutti i punti di un insieme E' la cui misura è s', si dirà che l'insieme E-E', formato dai punti di E che non appartengono a E', ha per misura s-s'; inoltre se un insieme è la somma di un'infinità numerabile di insiemi senza parti in comune, la sua misura sarà la somma delle misure delle sue parti e infine se gli insiemi E ed E' hanno, in virtù di queste definizioni, misura s ed s' ed E comprende tutti i punti di E', l'insieme E-E' avrà misura s-s'.
Il teorema fondamentale dimostrato a pagina 41-43 ci assicura che queste definizioni non saranno mai in contraddizione tra loro; siamo dunque liberi di adottarle; siamo anche sicuri che la misura di un'insieme non sarà mai una quantità negativa; ma un'insieme può avere misura zero e la potenza del continuo. Tale è l'insieme E considerato sotto [...].
3. Dato un insieme si può in un'infinità di modi includere i suoi punti in un intervallo o in una infinità numerabile di intervalli. L'insieme dei punti di questi intervalli contiene , dunque la misura di è al più uguale a quella di , vale a dire al più uguale alla somma delle lunghezze degli intervalli considerati. Il limite inferiore di questa somma è un limite superiore di ; noi lo diremo la misura esterna di , .
Supponiamo che tutti i punti di appartengano ad un segmento . Noi diremo complementare di rispetto ad , , l'insieme . Poiché la misura di è al più , quella di è almeno . Questo numero non dipende dai segmenti contenti scelti; noi lo diremo la misura interna di , [...].
Diremo insieme misurabile quello in cui le misure interne ed esterne sono uguali, il valore comune di questi due numeri sarà la misura dell'insieme, se il problema delle misura è possibile. Dalle proprietà che seguono risulterà che il numero così definito soddisfa le condizioni del problema della misura se ci si limita a considerare solo gli insiemi misurabili.